Equazione nell' insieme dei numeri complessi

[andros1]

potete darmi una mano con questo esercizio? non risolvetemela ma datemi indizi su cosa fare; sono alle prime armi con i complessi e mi sto allenando. Devo sicuramente trovare le radici del primo membro e poi col secondo invece?

$(z+1)^3=(1+i)^4$

[Zero87]

"andros":non risolvetemela ma datemi indizi su cosa fare

Ottimo! Così si fa (specie in questo forum ).

Vediamo, se avessi
$x^3=a^4$
quanto vale $x$?

[andros1]

nei reali si dovrebbe fare $root(3)(x^3)=root(3)(a^4)$ o anche $x=a*root(3)(a)$ se vado giusto

[Zero87]

"andros":nei reali si dovrebbe fare $root(3)(x^3)=root(3)(a^4)$ o anche $x=a*root(3)(a)$ se vado giusto

Vai giusto, l'unica differenza è che nei reali c'è una radice terza, mentre nei complessi ce ne sono 3 e c'è anche una formula semplice da applicare per trovarle (ovviamente bisogna esprimere il radicando in forma trigonometrica).

[andros1]

andavo bene: trovo le 3 radici del primo membro,ma col 2 come mi comporto ? Sostituisco il primo membro con una sua radice e risolvo,e poi lo stesso con le altre 2?

[Zero87]

In generale al primo membro hai semplicemente $z+1$ è al secondo che hai quell'affare $\root(3)((i+1)^4)$ che assume 3 valori differenti.

[andros1]

Perche la prima radice si elide con la potenza?

[Zero87]

"andros":Perche la prima radice si elide con la potenza?

Beh, ecco, i motivi filosofici non me li sono mai chiesti, ma comunque quando si isola la variabile le soluzioni (diverse) si trovano estraendo la radice al secondo membro.
Se si ha $z^n=a$ si può tranquillamente passare a $z=\root(n)(a)$ poiché le $n$ radici di $z$ corrispondono alle $n$ radici di $a$.

[andros1]

prima elevo $1+i$ alla quarta:
$4[cos(pi)+i*sen(pi)]$

poi trovo le radici e aggiungo il $-1$ del primo membro :
$z_0=root(3)(4)*e^(i2/3pi) -1$
$z_1=root(3)(4)*e^(ipi) -1$
$z_2=root(3)(4)*e^(i5/3pi) -1$

pei i $\varphi_k$ ho fatto cosi :
$\varphi_0=(pi+pi)/(3)=2/3pi$
$\varphi_1=(pi+2pi)/(3)=pi$
$\varphi_2=(pi+4pi)/(3)=5/3pi$

Vado bene ?

[Zero87]

Non vedo nulla di sbagliato, se non arrivano smentite... ok!