Equazione nel campo complesso
Salve,
ho un problema con la seguente equazione:
$|\frac{a^2}{ix(ix+2ac)}|=1$
devo quindi trovare il valore di x che soddisfa la suddetta uguaglianza. La soluzione dovrebbe essere:
$x=a\sqrt {\sqrt{1+4c^4}-2c^2}$
ma non ho capito come arrivarci. Sono partito con il ricavarmi il modulo, ovvero
$|\frac{a^2}{ix(ix+2ac)}|=\frac{a^2}{x\sqrt{x^2+4a^2c^2})$ ma al momento in cui lo pongo uguale a 1 mi blocco.
Come dovrei procedere secondo voi?
ho un problema con la seguente equazione:
$|\frac{a^2}{ix(ix+2ac)}|=1$
devo quindi trovare il valore di x che soddisfa la suddetta uguaglianza. La soluzione dovrebbe essere:
$x=a\sqrt {\sqrt{1+4c^4}-2c^2}$
ma non ho capito come arrivarci. Sono partito con il ricavarmi il modulo, ovvero
$|\frac{a^2}{ix(ix+2ac)}|=\frac{a^2}{x\sqrt{x^2+4a^2c^2})$ ma al momento in cui lo pongo uguale a 1 mi blocco.
Come dovrei procedere secondo voi?
Risposte
[tex]\tfrac{a^2}{x\sqrt{x^2+4a^2c^2}} =1[/tex] è una comunissima equazione irrazionale fratta del tipo che si risolve anche alle superiori... Quindi cosa c'è di inquietante?
P.S.: Spero che [tex]$a,c,x\in \mathbb{R}$[/tex]... Altrimenti l'esercizio diventa contaccioso assai (ed i passaggi che hai fatto non sarebbero corretti).
P.S.: Spero che [tex]$a,c,x\in \mathbb{R}$[/tex]... Altrimenti l'esercizio diventa contaccioso assai (ed i passaggi che hai fatto non sarebbero corretti).
Si quelli sono reali.
Allora, da quello che mi ricordo delle equazioni di questo tipo, moltiplico e divido entrambi i membri per il denominatore che compare a primo membro ossia $\sqrt {x^2+4a^2c^2}$ ottenendo:
$\frac{a^2\sqrt {x^2+4a^c^2}}{x(x^2+4a^2c^2)}=1$
segue
$a^2\sqrt {x^2+4a^2c^2}=x(x^2+4a^2c^2)$
elevando al quadrato entrambi i membri ottengo:
$a^4(x^2+4a^2c^2)=x^2(x^4+16a^4c^4+8x^2a^2c^2)$
facendo i prodotti:
$a^4x^2+4a^6c^2=x^6+16x^2a^4c^4+8x^4a^2c^2$
a questo punto non riesco ad isolare l'incognita
Allora, da quello che mi ricordo delle equazioni di questo tipo, moltiplico e divido entrambi i membri per il denominatore che compare a primo membro ossia $\sqrt {x^2+4a^2c^2}$ ottenendo:
$\frac{a^2\sqrt {x^2+4a^c^2}}{x(x^2+4a^2c^2)}=1$
segue
$a^2\sqrt {x^2+4a^2c^2}=x(x^2+4a^2c^2)$
elevando al quadrato entrambi i membri ottengo:
$a^4(x^2+4a^2c^2)=x^2(x^4+16a^4c^4+8x^2a^2c^2)$
facendo i prodotti:
$a^4x^2+4a^6c^2=x^6+16x^2a^4c^4+8x^4a^2c^2$
a questo punto non riesco ad isolare l'incognita
Direi che fin dal primo passaggio fino a quello che precede l'elevazione al quadrato dovresti subito notare una/due condizioni sulla [tex]x[/tex].
Quell'equazione diventa facilmente di terzo grado, prova con Ruffini (è un'idea non so se porti a qualcosa).
Quell'equazione diventa facilmente di terzo grado, prova con Ruffini (è un'idea non so se porti a qualcosa).
Non capisco perchè non elevi direttamente al quadrato e preferisci complicarti la vita razionalizzando.
Ah, poi non avevo notato prima, ma attenzione che [tex]$|\imath\ x|=|x|$[/tex], eh...
Ah, poi non avevo notato prima, ma attenzione che [tex]$|\imath\ x|=|x|$[/tex], eh...
elevando di tutto principio al quadrato ottengo:
$a^4=x^2(x^2+4a^2c^2)$ rimane però il problema di isolare l'incognita
$a^4=x^2(x^2+4a^2c^2)$ rimane però il problema di isolare l'incognita
Dai, Orlok! Non ti puoi incantare così. A scuola superiore ti avranno sicuramente rimpinzato fino alla nausea di equazioni biquadratiche come questa.
Ah si!!! Ecco cos'era.
Devi sapere che il perdermi in un bicchiere d'acqua è una abilità che mi contraddistingue XD.
Grazie a tutti per la pazienza.
Devi sapere che il perdermi in un bicchiere d'acqua è una abilità che mi contraddistingue XD.
Grazie a tutti per la pazienza.
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