Equazione nel campo complesso
come posso risolvere questa equazione in ₵?
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$w^4i + 4|w|^2=0 $
grazie in anticipo
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$w^4i + 4|w|^2=0 $
grazie in anticipo
Risposte
Io sono riuscito a risolverlo ponendo $w=re^(i\theta)$ e quindi $|w|=r$.
Ci sono un po' di calcoli da fare ma non sono troppo complicati
Ora devo uscire.
Se non arrivi ad una conclusione, domani ti posto i calcoli.
Ciao
Ci sono un po' di calcoli da fare ma non sono troppo complicati
Ora devo uscire.
Se non arrivi ad una conclusione, domani ti posto i calcoli.
Ciao
si mi faresti un favore se mi scrivi i calcoli 
Allora:
$w^4i + 4|w|^2=0$ e quindi detto $w=re^(i\theta)$ si ha
$r^4e^(4i\theta)i+4r^2=0$
Se $r=0$ ho la soluzione banale ovvia $w=0$
Sia allora $r!=0$. Posso dividere per $r^2$ e ho:
$r^2e^(4i\theta)i+4=0$
Sviluppo ora $e^(4i\theta)=cos(4\theta)+isen(4\theta)$ e sostituisco dentro ottenendo:
$r^2(icos(4\theta)+i^2sen(4\theta))+4=0$
Quindi:
$i(r^2cos(4\theta))-r^2sen(4\theta)+4=0$
Ora affinchè il risultato sia 0 devo avere che la parte immaginaria e la parte reale devono essere 0.
Quindi $r^2cos(4\theta)=0$ $rArr$ $cos(4\theta)=0$ $rArr$ $4\theta=(\pi)/2+k\pi$ con k numero intero.
Considero ora la parte reale:
$-r^2sen(4\theta)+4=0$ $rArr$ $-r^2sen((\pi)/2+k\pi)+4=0$
Ora $sen((\pi)/2+k\pi)$ vale 1 se $k$ è pari e vale -1 se $k$ è dispari.
Quindi se k è pari, allora
$-r^2sen((\pi)/2+k\pi)+4=0$ $rArr$ $-r^2+4=0$ $rArr$ $r=+-2$
e dalla relazione $4\theta=(\pi)/2+k\pi$ trovo $\theta=(\pi)/8+k(\pi)/4$
Quindi, per k pari, ho le 2 soluzioni:
$w=2e^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
$w=-2e^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
Invece se k è dispari, allora
$-r^2sen((\pi)/2+k\pi)+4=0$ $rArr$ $r^2+4=0$ $rArr$ $r^2=-4$ $rArr$ $r=+-2i$
e dalla relazione $4\theta=(\pi)/2+k\pi$ trovo $\theta=(\pi)/8+k(\pi)/4$
Quindi, per k dispari, ho le 2 soluzioni:
$w=2ie^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
$w=-2i2e^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
Se trovi errori di calcolo può tranquillamente essere, data l'ora; ma sostanzialmente il tutto dovrebbe essere corretto.
Buonanotte
$w^4i + 4|w|^2=0$ e quindi detto $w=re^(i\theta)$ si ha
$r^4e^(4i\theta)i+4r^2=0$
Se $r=0$ ho la soluzione banale ovvia $w=0$
Sia allora $r!=0$. Posso dividere per $r^2$ e ho:
$r^2e^(4i\theta)i+4=0$
Sviluppo ora $e^(4i\theta)=cos(4\theta)+isen(4\theta)$ e sostituisco dentro ottenendo:
$r^2(icos(4\theta)+i^2sen(4\theta))+4=0$
Quindi:
$i(r^2cos(4\theta))-r^2sen(4\theta)+4=0$
Ora affinchè il risultato sia 0 devo avere che la parte immaginaria e la parte reale devono essere 0.
Quindi $r^2cos(4\theta)=0$ $rArr$ $cos(4\theta)=0$ $rArr$ $4\theta=(\pi)/2+k\pi$ con k numero intero.
Considero ora la parte reale:
$-r^2sen(4\theta)+4=0$ $rArr$ $-r^2sen((\pi)/2+k\pi)+4=0$
Ora $sen((\pi)/2+k\pi)$ vale 1 se $k$ è pari e vale -1 se $k$ è dispari.
Quindi se k è pari, allora
$-r^2sen((\pi)/2+k\pi)+4=0$ $rArr$ $-r^2+4=0$ $rArr$ $r=+-2$
e dalla relazione $4\theta=(\pi)/2+k\pi$ trovo $\theta=(\pi)/8+k(\pi)/4$
Quindi, per k pari, ho le 2 soluzioni:
$w=2e^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
$w=-2e^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
Invece se k è dispari, allora
$-r^2sen((\pi)/2+k\pi)+4=0$ $rArr$ $r^2+4=0$ $rArr$ $r^2=-4$ $rArr$ $r=+-2i$
e dalla relazione $4\theta=(\pi)/2+k\pi$ trovo $\theta=(\pi)/8+k(\pi)/4$
Quindi, per k dispari, ho le 2 soluzioni:
$w=2ie^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
$w=-2i2e^(i((\pi)/8+k(\pi)/4))$
Se trovi errori di calcolo può tranquillamente essere, data l'ora; ma sostanzialmente il tutto dovrebbe essere corretto.
Buonanotte
ma il coniugato di w in forma esponenziale nn e $w(coniugatO)= re^-i\theta?$
"sandrino1989":
ma il coniugato di w in forma esponenziale nn e $w(coniugatO)= re^-i\theta?$
E quel segno sopra il testo sarebbe un coniugato??
Ora capisci cosa vuol dire quando diciamo di scrivere in modo decente le formule!?
Comunque se è il coniugato allora $\bar w=re^(-i\theta)$ e cambiano leggermente i calcoli, ma non il ragionamento.
D'accordo?
e lo so ma nn riuscivo a trovarlo ma si capiva ke era w coniugato =)
comunque grazie lo stesso per l aiuto!
comunque grazie lo stesso per l aiuto!
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