Equazione nel campo complesso...

[Marco.hawk]

Ciao ringrazio anticipatamente tutti per l'eventuale risposta e disponibilità...Frequento la facolta di ingegneria chimica dopo aver studiato e compreso i numeri complessi mi sono cimentato in ex dai + semplici ai + complessi...fino al momento in cui mi sono imbattutto in questo ex che è un tema di esame dello scorso anno accademico della mia professoressa: Trovare le soluzioni nel campo del complesso dell equazione $z^2+i*argz+imgz^2=0$
dove argz=argomento di z e imgz=coefficente immaginario di z

[Camillo]

Prova usando la forma esponenziale dei numeri complessi ponendo $z = rho e^(i theta) $ .

[Marco.hawk]

rimango cmq bloccato sia scrivendolo nella forma esponenziale e sia nella forma trigonometrica...poichè non riesco a calcolare l'argomento e il coefficente dell immagginario

[Camillo]

Poni $z= rho e^(i theta) $ , quindi $z^2 = rho^2 e^(i2theta)= rho^2[cos (2theta)+isin (2 theta)] ; arg z = theta $;
$Im z^2 = rho^2sin(2theta) $.
Quindi l'equazione diventa :
$rho^2 cos(2theta)+i rho^2 sin(2 theta) +i theta+rho^2 sin(2theta)=0 $.
Di conseguenza si ha il sistema
$rho^2 cos 2 theta+rho^2 sin 2 theta=0 $ che ha la soluzione banale $rho=0 $ e quindi $ z=0 $
semplificando per $rho^2 $ si ottiene :
$cos 2 theta +sin 2 theta=0$
e la'ltra equazione del sistema è :
$rho^2 sin 2 theta +theta=0 $
La prima equazione ha soluzioni
$2 theta_1 = 3pi/4 -> theta_1 = 3pi/8 $ che sostituita nella seconda equazione non da soluzioni.
ed anche
$2theta_2 = 7pi/4 -> theta_2 = 7pi/8$ che sostituita nella seconda equazione porta a
$ rho= sqrt(7pi)*2^(1/4)/(2sqrt(2)) $ da cui poi $z= sqrt(7pi)*2^(1/4)/(2sqrt(2)) *e^(i7pi/8)$.

[Marco.hawk]

grazie mille.....