Equazione nei Complessi

[devt]

Buonasera,

Ho dei problemi con questo esercizio, viene chiesto di determinare nella forma algebrica le soluzioni nel campo complesso di questa equazione:

$z^3 \barz + 2 = 2isqrt3$

A parte le conoscenze che
$ z = a + ib $ ed $ \barz = a - ib $ non so onestamente come andare avanti.

Qualcuno saprebbe come procedere?

Grazie mille!

[pilloeffe]

Ciao tatoalo,

"tatoalo":Qualcuno saprebbe come procedere?

A me pare più semplice procedere con la forma esponenziale, osservando che posto $z = \rho e^{i\theta} \implies \bar{z} = \rho e^{-i \theta} $ si ha:

$ z^3 \barz + 2 = 2i sqrt{3} $

$ z^3 \barz = - 2 + 2i sqrt{3} $

$ \rho^4 e^{i 2\theta} = 4 e^{i (2\pi)/3} $

Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente...

[devt]

"pilloeffe":
A me pare più semplice procedere con la forma esponenziale, osservando che posto $z = \rho e^{i\theta} \implies \bar{z} = \rho e^{-i \theta} $ si ha:

$ z^3 \barz + 2 = 2i sqrt{3} $

$ z^3 \barz = - 2 + 2i sqrt{3} $

$ \rho^4 e^{i 2\theta} = 4 e^{i (2\pi)/3} $

Ora dovresti essere in grado di proseguire autonomamente...

Grazie mille per il suggerimento pilloeffe!

Sono arrivato ad ottenere
$z_1 = sqrt2/2 + isqrt(3/2)$ ed $z_2 = - sqrt2/2 - isqrt(3/2)$

Sperando di non aver commesso errori ti chiederei un ulteriore chiarimento, una volta che dalla tua formula esponenziale torno nella trigonometrica e poi da lì mi sposto al sistema:
$\{(\rho^4 = ...),(2\theta = ...):}$

Perchè se considero $k = 0,1,2,3$ ottengo 4 valori ma ripetuti a due a due? Dovrei considerare solo $k = 0,1$ ? Perchè?

Grazie mille ancora!

[devt]

Va bene, grazie arnett!