Equazione logaritmica...

[Studente Anonimo]

Salve, sto cercando di risolvere la seguente equazione logaritmica:

$4*log_{4} x - log_{2} (1+x) = 0$

Osservo che devo fare un cambio di base. Lo effettuo sul primo logaritmo, ottenendo questo:

$4*log_{2} x - 2*log_{2} (1+x) = 0$

Ora posso considerare lo 0 come $log_{2} 1$, ottendendo:

$4*log_{2} x - 2*log_{2} (1+x) = log_{2} 1$

Per le proprietà dei logaritmi, mi conviene fare

$log_{2} x^4 - log_{2} (1+x)^2 = log_{2} 1$

oppure di fare il rapporto di logaritmi?

$2*(2*log_{2} x - log_{2} (1+x)) = log_{2} 1$
$2*(log_{2} (x^2) / (1+x)) = log_{2} 1$

[ciampax]

Semplificando all'inizio trovi l'equazione

$\log_2 x^2-\log_2(x+1)=0$

il che implica che

$\log_2 x^2/{x+1}=0$

e quindi

$x^2/{x+1}=1$

[Studente Anonimo]

"ciampax":Semplificando all'inizio trovi l'equazione

$\log_2 x^2-\log_2(x+1)=0$

il che implica che

$\log_2 x^2/{x+1}=0$

e quindi

$x^2/{x+1}=1$

cavoli, non l'avevo considerato...fantastico...poi il risultato finale è $x = (1+sqrt(5)) / 2$ mentre quella negativa non posso considerarla per l'esistenza del logaritmo...

Visto che ci siamo, mi sono impaperato su un'altra equazione:
$log_{x} e + log_{e} x - 2 = 0$

sfutto il cambio di base in modo da avere:
$1/(log_{e} x) + log _{e} x - 2 = 0$

A lezione mi hanno detto di sostituire $log _{e} x$ con t e avrei ottenuto:
$ t^2 -2t - 1 = 0$
ma non mi torna...salto qualche passaggio?

[chiaraotta1]

"anonymous_9a70ee":
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Visto che ci siamo, mi sono impaperato su un'altra equazione:
$log_{x} e + log_{e} x - 2 = 0$

sfutto il cambio di base in modo da avere:
$1/(log_{e} x) + log _{e} x - 2 = 0$
.....

Per $x>0$ e $x!=1$:
$1/(log_{e} x) + log _{e} x - 2 = 0$
$1+ (log _{e} x)^2 - 2(log_{e} x) = 0$
$(log _{e} x-1)^2=0$
$log _{e} x-1=0$
$x=e$.

[ciampax]

Oppure se sostituisci $t=\log x$ si ha $1/t+t-2=0$ e quando fai il denominatore comune...

[Studente Anonimo]

"chiaraotta":[quote="anonymous_9a70ee"]
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Visto che ci siamo, mi sono impaperato su un'altra equazione:
$log_{x} e + log_{e} x - 2 = 0$

sfutto il cambio di base in modo da avere:
$1/(log_{e} x) + log _{e} x - 2 = 0$
.....

Per $x>0$ e $x!=1$:
$1/(log_{e} x) + log _{e} x - 2 = 0$
$1+ (log _{e} x)^2 - 2(log_{e} x) = 0$
$(log _{e} x-1)^2=0$
$log _{e} x-1=0$
$x=e$.[/quote]

Mhhh....mi sfugge un passaggio...
$(log _{e} x-1)^2=0$
$log _{e} x-1=0$
non ho capito cosa hai fatto...

"ciampax":Oppure se sostituisci $t=\log x$ si ha $1/t+t-2=0$ e quando fai il denominatore comune...

giustamente...hai ragione...mi fermo sempre li...devo imparare a guardare avanti...grazie!

[Gi81]

#anonymous_9a70ee:

"anonymous_9a70ee":Mhhh....mi sfugge un passaggio...
$(log _{e} x-1)^2=0$
$log _{e} x-1=0$
non ho capito cosa hai fatto...

Che soluzioni ha l'equazione $a^2=0$? (nel nostro caso $a=log_e (x)-1$)

[Studente Anonimo]

"Gi8":#anonymous_9a70ee:[quote="anonymous_9a70ee"]Mhhh....mi sfugge un passaggio...
$(log _{e} x-1)^2=0$
$log _{e} x-1=0$
non ho capito cosa hai fatto...

Che soluzioni ha l'equazione $a^2=0$? (nel nostro caso $a=log_e (x)-1$)[/quote]
In effetti...si...