Equazione logaritmica
Nello studio delle soluzioni di una funzione mi
sono impantanato ad un passaggio del tipo $k=x-lnx$
con k costante nota.
Mi chiedevo se qualcuno ha un'idea su come giungere alla
soluzione,qualora questa esista.
P.S. Chiedo nel forum università poichè credo che qualche studente
più smalizziato di me possa avere già incontrato più
volte un tipo di equazione del genere
ringrazio chiunque avesse voglia di aiutarmi
sono impantanato ad un passaggio del tipo $k=x-lnx$
con k costante nota.
Mi chiedevo se qualcuno ha un'idea su come giungere alla
soluzione,qualora questa esista.
P.S. Chiedo nel forum università poichè credo che qualche studente
più smalizziato di me possa avere già incontrato più
volte un tipo di equazione del genere
ringrazio chiunque avesse voglia di aiutarmi
Risposte
devi fare l'intersezione con gli assi?
il grafico della funzione aiuta certamente in modo intuitivo a capire il problema
tuttavia nel problema iniziale è richiesto di trovare le soluzioni per
l'equazione $e^x=kx$ con K reale ed al variare di K.
Poi facendo un po' di passaggi,si arriva a $k=x-lnx$ (considerando K positivo)
Boh... forse ho sbagliato approccio al problema ma quando hai una equazione
logaritmica dove l'incognita si esprime su due addendi come faccio a raccoglierla?
tuttavia nel problema iniziale è richiesto di trovare le soluzioni per
l'equazione $e^x=kx$ con K reale ed al variare di K.
Poi facendo un po' di passaggi,si arriva a $k=x-lnx$ (considerando K positivo)
Boh... forse ho sbagliato approccio al problema ma quando hai una equazione
logaritmica dove l'incognita si esprime su due addendi come faccio a raccoglierla?
E' inutile passare allo studio dell 'equazione lnk=x-lnx dal momento che implicitamente si sta supponendo k>0, per cui pur trovando una soluzione , essa non è completa perchè il caso k<0 non potrebbe essere discusso. Inoltre l'equazione
lnk=x-lnx impone uno studio solo per x>0, cosa questa che nel problema originario ( studio di e^x=kx)non è ravvisabile.
Allora:
Problema: studiare e^x=kx
Innanzitutto io troverei il valore di k che rende tangenti le due curve e^x e kx cioè trovare il k tale che l'intersezione sia di un solo punto.
Calcoliamo tale k. Per essere tangenti le due curve in (x0,y0) devono avere la stessa tangente. Il coefficiente angolare di tale tangente si calcola valutando la derivata in x0.
La derivata di e^x ( pari a e^x) valutata in x0 è e^x0, mentre la derivata di kx ( pari a k) valutata in x0 è k: imponendo l'uguaglianza dei due coefficienti angolari si trova k=e^x0. Inoltre il punto (x0,y0) deve appartenere ad entrambe per cui deve aversi che k*x0=e^x0.
Si hanno allora due condizioni: k=e^x0 e k*x0=e^x0 da cui k*x0=k cioè k*(1-x0)=0 che è vera se e solo se x0=1 (perchè escludiamo k=0). Quindi il k che rende le due curve tangenti è k=e. Per cui:
1) per k=e ci sta una intersezione tra le due curve e l'equazione e^x=kx ha 1 soluzione
Ora ricordiamo che e^x si trova nel primo e nel secondo quadrante, mentre la retta kx per k>0 si trova nel primo e terzo quadrante e per k<0 si trova nel secondo e quarto quadrante. Quindi per k>0 se ci sono intersezione tra le curve esse si trovano nel primo quadrante , mentre per k<0 se ci sono intersezioni esse devono trovarsi nel secondo quadrante.
Ora distinguiamo tre casi:
2)00, allora per ogni x appartenente al primo quadrante ( cioè x>0) se k
3) k>e: la retta tangente ha coefficiente angolare maggiore della tangente cioè si trova più in alto nel primo quadrante rispetto alla tangente;in altro modo, ragionando sempre nel pimo quadrante perchè là vanno ricercati zeri se k>0, allora per ogni x appartenente al primo quadrante ( cioè x>0) se k>k'=e allora kx>k'x=ex cioè la retta sta sopra la tangente e per cui l 'equazione e^x=kx ha due soluzioni positive determinabili col teorema degli zeri
4)k<0: in tal caso la retta kx si trova nel secondo e quarto quadrante e l'equazione e^x=kx ha una soluzione negativa anch'essa determinabile col teorema degli zeri.
5) Se k=0 ovviamente l'equazione e^x=0 non ha soluzione.
In conclusione ecco i risultati:
1) k<0 U k=e: 1 soluzione che per k<0 è negativa e per k=e è positiva e pari a x=1
2)0=
lnk=x-lnx impone uno studio solo per x>0, cosa questa che nel problema originario ( studio di e^x=kx)non è ravvisabile.
Allora:
Problema: studiare e^x=kx
Innanzitutto io troverei il valore di k che rende tangenti le due curve e^x e kx cioè trovare il k tale che l'intersezione sia di un solo punto.
Calcoliamo tale k. Per essere tangenti le due curve in (x0,y0) devono avere la stessa tangente. Il coefficiente angolare di tale tangente si calcola valutando la derivata in x0.
La derivata di e^x ( pari a e^x) valutata in x0 è e^x0, mentre la derivata di kx ( pari a k) valutata in x0 è k: imponendo l'uguaglianza dei due coefficienti angolari si trova k=e^x0. Inoltre il punto (x0,y0) deve appartenere ad entrambe per cui deve aversi che k*x0=e^x0.
Si hanno allora due condizioni: k=e^x0 e k*x0=e^x0 da cui k*x0=k cioè k*(1-x0)=0 che è vera se e solo se x0=1 (perchè escludiamo k=0). Quindi il k che rende le due curve tangenti è k=e. Per cui:
1) per k=e ci sta una intersezione tra le due curve e l'equazione e^x=kx ha 1 soluzione
Ora ricordiamo che e^x si trova nel primo e nel secondo quadrante, mentre la retta kx per k>0 si trova nel primo e terzo quadrante e per k<0 si trova nel secondo e quarto quadrante. Quindi per k>0 se ci sono intersezione tra le curve esse si trovano nel primo quadrante , mentre per k<0 se ci sono intersezioni esse devono trovarsi nel secondo quadrante.
Ora distinguiamo tre casi:
2)0
3) k>e: la retta tangente ha coefficiente angolare maggiore della tangente cioè si trova più in alto nel primo quadrante rispetto alla tangente;in altro modo, ragionando sempre nel pimo quadrante perchè là vanno ricercati zeri se k>0, allora per ogni x appartenente al primo quadrante ( cioè x>0) se k>k'=e allora kx>k'x=ex cioè la retta sta sopra la tangente e per cui l 'equazione e^x=kx ha due soluzioni positive determinabili col teorema degli zeri
4)k<0: in tal caso la retta kx si trova nel secondo e quarto quadrante e l'equazione e^x=kx ha una soluzione negativa anch'essa determinabile col teorema degli zeri.
5) Se k=0 ovviamente l'equazione e^x=0 non ha soluzione.
In conclusione ecco i risultati:
1) k<0 U k=e: 1 soluzione che per k<0 è negativa e per k=e è positiva e pari a x=1
2)0=
grazie per la splendida spiegazione penso di aver chiaro come procedere..... 
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