Equazione logaritmica
Salve, non riesco a risolvere questa equazione logaritmo, vi spiego il mio procedimento in modo tale che mi evidenziate eventuali errori.
X/2+log((2x-2)/(x-2))=0
Il logaritmo è naturale.
Innanzitutto ho posto le condizioni di esistenza del log, che sono x<1 e x>2, ho portato x/2 all altro membro e l equazione diventa
((2x-2)/(x-2))= e^(-x/2).
Qui non riesco più ad andare avanti
X/2+log((2x-2)/(x-2))=0
Il logaritmo è naturale.
Innanzitutto ho posto le condizioni di esistenza del log, che sono x<1 e x>2, ho portato x/2 all altro membro e l equazione diventa
((2x-2)/(x-2))= e^(-x/2).
Qui non riesco più ad andare avanti
Risposte
Per questo tipo di equazione non esiste una formula risolutiva: in generale la speranza è di trovare le soluzioni "a occhio", per poi dimostrare che non ce ne sono altre.
In questo caso abbiamo un'equazione del tipo $f(x)=0$, dove $f$ è una funzione definita in $(-oo,1) \cup (2,+oo)$, e possiamo osservare che $x=0$ è una soluzione: vediamo che è l'unica.
1) Se $x>2$, allora ${2x-2}/{x-2}=2+2/{x-2}>2$, da cui $f(x)>x/2+log 2 >0$.
2) Se $f(x_0)=0$ per qualche $x_0 \in (-oo,1) \setminus \{0\}$, allora $f$ sarebbe definita sull'intervallo avente come estremi $0$ e $x_0$, e per il teorema di Rolle esisterebbe un $c \in RR$ strettamente compreso tra tali estremi tale che $f'(c)=0$, ma svolgendo i conti si trova
$1/2+1/{c-1}-1/{c-2}=0 \Rightarrow c \in \{0,3\}$, ed entrambi i valori non sono accettabili.
In questo caso abbiamo un'equazione del tipo $f(x)=0$, dove $f$ è una funzione definita in $(-oo,1) \cup (2,+oo)$, e possiamo osservare che $x=0$ è una soluzione: vediamo che è l'unica.
1) Se $x>2$, allora ${2x-2}/{x-2}=2+2/{x-2}>2$, da cui $f(x)>x/2+log 2 >0$.
2) Se $f(x_0)=0$ per qualche $x_0 \in (-oo,1) \setminus \{0\}$, allora $f$ sarebbe definita sull'intervallo avente come estremi $0$ e $x_0$, e per il teorema di Rolle esisterebbe un $c \in RR$ strettamente compreso tra tali estremi tale che $f'(c)=0$, ma svolgendo i conti si trova
$1/2+1/{c-1}-1/{c-2}=0 \Rightarrow c \in \{0,3\}$, ed entrambi i valori non sono accettabili.
Ciao derivate94,
Capisco che tu sia nuovo del forum, come me del resto, ma potresti cortesemente correggere il tuo post scrivendo le equazioni come è specificato nella guida per scrivere le formule? Ti assicuro che non è poi così difficile ed imparare il LATEX, sia pure a livello rudimentale, è una competenza che potrebbe tornarti utile nel futuro per eventuali tue tesine ad argomento scientifico, non necessariamente matematico.
Premesso quanto sopra, riscrivo quella che sembrerebbe essere l'equazione che hai proposto:
$frac{x}{2} + ln frac{2x-2}{x - 2} = 0$
Ti dico subito che, come ti ha già scritto @spugna, per risolvere tali equazioni occorrono in genere metodi numerici. Però nel caso in esame è possibile riscriverla in forma diversa e determinare una semplice soluzione grafica. Infatti, posto $x := 2t$, l'equazione diventa la seguente:
$t + ln frac{4t-2}{2t - 2} = 0 \implies t + ln frac{2t-1}{t - 1} = 0 \implies t = - ln frac{2t-1}{t - 1} \implies t = ln frac{t-1}{2t - 1} \implies e^t = frac{t-1}{2t - 1}$
L'ultima equazione scritta equivale al sistema seguente:
$\{(y = e^t),(y = frac{t-1}{2t - 1}):}$
La prima equazione è la ben nota funzione esponenziale, la seconda è una semplice funzione omografica. Il sistema ha la sola soluzione $t = 0$, come si vede bene anche con WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Et+%3D+(t+-+1)%2F(2t+-+1)
In conclusione, l'equazione che hai proposto ha la sola soluzione $x = 0$.
Capisco che tu sia nuovo del forum, come me del resto, ma potresti cortesemente correggere il tuo post scrivendo le equazioni come è specificato nella guida per scrivere le formule? Ti assicuro che non è poi così difficile ed imparare il LATEX, sia pure a livello rudimentale, è una competenza che potrebbe tornarti utile nel futuro per eventuali tue tesine ad argomento scientifico, non necessariamente matematico.
Premesso quanto sopra, riscrivo quella che sembrerebbe essere l'equazione che hai proposto:
$frac{x}{2} + ln frac{2x-2}{x - 2} = 0$
Ti dico subito che, come ti ha già scritto @spugna, per risolvere tali equazioni occorrono in genere metodi numerici. Però nel caso in esame è possibile riscriverla in forma diversa e determinare una semplice soluzione grafica. Infatti, posto $x := 2t$, l'equazione diventa la seguente:
$t + ln frac{4t-2}{2t - 2} = 0 \implies t + ln frac{2t-1}{t - 1} = 0 \implies t = - ln frac{2t-1}{t - 1} \implies t = ln frac{t-1}{2t - 1} \implies e^t = frac{t-1}{2t - 1}$
L'ultima equazione scritta equivale al sistema seguente:
$\{(y = e^t),(y = frac{t-1}{2t - 1}):}$
La prima equazione è la ben nota funzione esponenziale, la seconda è una semplice funzione omografica. Il sistema ha la sola soluzione $t = 0$, come si vede bene anche con WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Et+%3D+(t+-+1)%2F(2t+-+1)
In conclusione, l'equazione che hai proposto ha la sola soluzione $x = 0$.
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