Equazione logaritmica
$ vl-v= m/b * dv/dt $
$ dv/(vl-v)=b/m *dt $
$-ln(vl-v)=b/m*t+C $
C=-ln vl, essendo nulla la velocità iniziale, dunque
$v=vl(1-e^{-bt/m})$
Qualcuno mi spieghi come ha fatto, sopratutto quando mette il logaritmo a una equazione che non sono riuscito a trovare materiale su internet.
Sulla risoluzione dell'equazione ho provato, ma ho raggiunto un risultato sbagliato.
$ln vl-ln(vl-v)-b/m*t=ln1$
$ln vl/(vl-v)-b/m*t=ln1$
$ dv/(vl-v)=b/m *dt $
$-ln(vl-v)=b/m*t+C $
C=-ln vl, essendo nulla la velocità iniziale, dunque
$v=vl(1-e^{-bt/m})$
Qualcuno mi spieghi come ha fatto, sopratutto quando mette il logaritmo a una equazione che non sono riuscito a trovare materiale su internet.
Sulla risoluzione dell'equazione ho provato, ma ho raggiunto un risultato sbagliato.
$ln vl-ln(vl-v)-b/m*t=ln1$
$ln vl/(vl-v)-b/m*t=ln1$
Risposte
Ma esattamente che differenza c'è tra $V$ e $v$? Come hai fatto a svolgere il primo passaggio?
EDIT: la velocità iniziale è nulla? Ma l'integrale non prevede una $v=0$ perché diverge...
A cosa si riferisce l'equazione?
EDIT: la velocità iniziale è nulla? Ma l'integrale non prevede una $v=0$ perché diverge...
"aron":
Qualcuno mi spieghi come ha fatto, sopratutto quando mette il logaritmo a una equazione che non sono riuscito a trovare materiale su internet.
A cosa si riferisce l'equazione?
Scusami ho fatto confusione io, sono la stessa cosa, ho sbagliato a mettere la maiuscola.
L'equazione si riferisce ad un problema di fisica, dinamica per essere precisi.
Ti riporto il testo in completo
Un autocarro di massa $m = 25t $ ha una forza di trazione costante $ F = 1,5*10^4N $ Supponendo che il veicolo parta da fermo su una strada piana e che il modulo della forza resistente si possa approssimare con la relazione $R = k + bv$, con$ k = 8*10^3N $ e $ b = 70 N/(km/h)$. determinare la massima velocità raggiunta vl (velocità limite), il tempo t1 impiegato per raggiungere la velocità v1 = vl/5 e lo spazio percorso in tale tempo.
I primi passaggi sono quelli del libro e penso che sia solo una semplice sostituzione. Se sostituisci i valori viene la seconda equazione. Il problema è il dopo.
L'equazione si riferisce ad un problema di fisica, dinamica per essere precisi.
Ti riporto il testo in completo
Un autocarro di massa $m = 25t $ ha una forza di trazione costante $ F = 1,5*10^4N $ Supponendo che il veicolo parta da fermo su una strada piana e che il modulo della forza resistente si possa approssimare con la relazione $R = k + bv$, con$ k = 8*10^3N $ e $ b = 70 N/(km/h)$. determinare la massima velocità raggiunta vl (velocità limite), il tempo t1 impiegato per raggiungere la velocità v1 = vl/5 e lo spazio percorso in tale tempo.
I primi passaggi sono quelli del libro e penso che sia solo una semplice sostituzione. Se sostituisci i valori viene la seconda equazione. Il problema è il dopo.
Ah ma allora quel "$vl$" è un unico termine - scritto così sembra un prodotto, per forza che non mi tornava la condizione $v(0)=0$ ... Se il problema sono solo i passaggi:
\[ - \ln \left( {{v_L} - v} \right) = \frac{b}{m}t - \ln \left( {{v_L}} \right)\]
\[\ln \left( {{v_L} - v} \right) = - \frac{b}{m}t + \ln \left( {{v_L}} \right)\]
\[{v_L} - v = \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right]\]
\[v = {v_L} - \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right]\]
Si sfruttano i passaggi
\[\ln \left( x \right) = y \Rightarrow \exp \left[ {\ln \left( x \right)} \right] = x = \exp \left( y \right)\]
\[ - \ln \left( {{v_L} - v} \right) = \frac{b}{m}t - \ln \left( {{v_L}} \right)\]
\[\ln \left( {{v_L} - v} \right) = - \frac{b}{m}t + \ln \left( {{v_L}} \right)\]
\[{v_L} - v = \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right]\]
\[v = {v_L} - \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right]\]
Si sfruttano i passaggi
\[\ln \left( x \right) = y \Rightarrow \exp \left[ {\ln \left( x \right)} \right] = x = \exp \left( y \right)\]
1) \[v = {v_L} - \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right]\]
2) $ v=vl(1-e^{-bt/m})$
Non mi sembra che la prima equazione sia equivalente alla seconda.
Per exp intendi esponente?
3) $ dv/(vl-v)=b/m *dt $
4)-ln(vl-v)=b/m*t+C
Come è riuscito a passare dalla 3 alla 4 ?
2) $ v=vl(1-e^{-bt/m})$
Non mi sembra che la prima equazione sia equivalente alla seconda.
Per exp intendi esponente?
3) $ dv/(vl-v)=b/m *dt $
4)-ln(vl-v)=b/m*t+C
Come è riuscito a passare dalla 3 alla 4 ?
"aron":
Per exp intendi esponente?
Esponenziale.
"aron":
1) \[v = {v_L} - \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right]\]
2) $ v=vl(1-e^{-bt/m})$
Non mi sembra che la prima equazione sia equivalente alla seconda.
Come no?
\[v = {v_L} - \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right) - \frac{b}{m}t} \right] = {v_L} - \exp \left[ {\ln \left( {{v_L}} \right)} \right] \cdot \exp \left( { - \frac{b}{m}t} \right) = \]
\[ = {v_L} - {v_L} \cdot \exp \left( { - \frac{b}{m}t} \right) = {v_L}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{b}{m}t} \right)} \right]\]
"aron":
3) $ dv/(vl-v)=b/m *dt $
4)-ln(vl-v)=b/m*t+C
Come è riuscito a passare dalla 3 alla 4 ?
Ha integrato...
Grazie per la delucidazione, ora controllo meglio.
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