Equazione logaritmica

[16chicca901]

log( x^2-a)=x

determinare il numero di soluzioni al variare di a...


come faccio a risolverla???


grazie

[Noisemaker]

metti il simbolo del dollaro prima e dopo l'espressione che hai scritto cosi si legge meglio
\[\log(x^2-a)=x\]
...poi poni le condizioni di esistenza del logaritmo prima di ogni altra considerazione .... epoi considera la funzione
\[g(x):= \log(x^2-a)-x\]
e prova ad applicare il teorema degli zeri

[16chicca901]

studio l'esistenza del logaritmo..
quindi l'argomento maggiore di 0

$x^2-a>0$
quindi $x<-sqrt(a)$
$x>sqrt(a)$

e adesso??

[Noisemaker]

distingui i casi
se $a=0$ hai che
\[g(x):= \log x^2 -x\]
in questo caso hai che la funzione è definita per ogni $x\ne0$,
\begin{align}
\lim_{x\to0^{\pm}} g(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to \pm\infty} g(x)=+\infty
\end{align}
la derivata è
\begin{align}
g'(x)=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}>0 \Leftrightarrow x<0\cup x\ge2
\end{align}
dunque la funzione ha un massimo in $x=2$ e $f(2)=-0.61...$ (sta sempre sotto l'asse delle $x$); in questo caso allora puoi concludere che la funzione ha un solo zero $x_0<0$ pionchè per $x<0$ la funzione risulta decrescente stretttamente.
prova a fare gli altri casi
.se $a>0$ hai che
\[g(x):= \log (x^2-a) -x\]
se $a<0$ hai che
\[g(x):= \log (x^2+a) -x\]