Equazione irrazionale

[zerbo1000]

non riesco a risolvere questa equazione

$4x^2-(4sqrt(3)-1)x-sqrt(3)=0$

ho isolato le radici a secondo membro e quadrato il tutto e le radici spariscono ma non viene ugualmente, i risultati sono $ sqrt(3) $ e $-1/4$

[anto_zoolander]

Come troveresti le radici di $ax^2+bx+c=0$ con $a,b,c$ non nulli?

[zerbo1000]

il delta mi viene $sqrt (49-32sqrt(3))$

[anto_zoolander]

Posta i calcoli, che cerchiamo l'errore.

[gugo82]

"zerbo1000":non riesco a risolvere questa equazione

$4x^2-(4sqrt(3)-1)x-sqrt(3)=0$

ho isolato le radici a secondo membro e quadrato il tutto e le radici spariscono ma non viene ugualmente, i risultati sono $ sqrt(3) $ e $-1/4$

L'approccio suggerito da anto, purtroppo, seppur del tutto standard per questo tipo di equazione (che non è irrazionale, ma algebrica di secondo grado...) conduce a conti non proprio immediati.

Tuttavia, l'equazione può essere risolta con tecniche di prima superiore, i.e. usando somma e prodotto.

Mettendo $4$ in evidenza ottieni:
\[
4\ \left( x^2 - \left( \sqrt{3} - \frac{1}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 0
\]
e il trinomio al secondo membro si scompone determinando due numeri tali che la loro somma sia $sqrt(3) - 1/4$ ed il loro prodotto $-(sqrt(3))/4$; evidentemente, tali numeri sono $sqrt(3)$ e $-1/4$ e la scomposizione del trinomio è:
\[
\left( x + \frac{1}{4}\right)\ \left( x - \sqrt{3}\right)\; .
\]

[pilloeffe]

Ciao zerbo1000,

"zerbo1000":il delta mi viene $\sqrt{49−32\sqrt{3}} $

No, si ha $\Delta = (4\sqrt{3} + 1)^2 $
Comunque ha ragione gugo82, quello è un trinomio caratteristico o speciale, comunque lo si voglia chiamare, non c'è neanche bisogno di usare la formula $x_{1,2} = (- b \pm \sqrt{\Delta})/(2a) $ ove $\Delta := b^2 - 4ac $