Equazione integro-differenziale

[frapippo1]

Ciao a tutti. Sto leggendo un articolo, in cui la soluzione del problema affrontato è data dal seguente sistema:

$({lambda_1(1+e^x)}/{e^x}-{1}/{lambda_0(lambda_0-1)})f'(x)-{f(x)[lambda_0(1+e^x)-1]}/{lambda_0(lambda_0-1)(1+e^x)}+{e^{lambda_0x}}/{1+e^x}(int_x^{A}{f(y)(1+e^y)}/{e^{lambda_0y}}dy+{e^{-lambda_0A}}/{lambda_0})=$
$=-{e^x}/{1+e^x}$ se $x
$f(x)=1/{1+e^x}$ se $x>=A$

La prima è un'equazione integro-differenziale, dove $lambda_1$, $lambda_0$ e $A$ sono delle costanti.
L'articolo fornisce poi la soluzione $f(x)$ di questo sistema, dicendo che può essere facilmente calcolata, senza spiegare però il procedimento risolutivo.

Devo ammettere che la mia conoscenza si ferma alle equazioni differenziali. Avete idea di come risolvere l'equazione integro diff.le sopra scritta? Su internet ho trovato un semplice esempio di equazione integro-diff.le risolta tramite trasformata di Laplace, ma credo che tale metodo sia troppo complicato per essere applicato in questo caso.

Grazie dell'attenzione.

[gugo82]

"frapippo":Ciao a tutti. Sto leggendo un articolo, in cui la soluzione del problema affrontato è data dal seguente sistema:

$({lambda_1(1+e^x)}/{e^x}-{1}/{lambda_0(lambda_0-1)})f'(x)-{f(x)[lambda_0(1+e^x)-1]}/{lambda_0(lambda_0-1)(1+e^x)}+{e^{lambda_0x}}/{1+e^x}(int_x^{A}{f(y)(1+e^y)}/{e^{lambda_0y}}dy+{e^{-lambda_0A}}/{lambda_0})=$
$=-{e^x}/{1+e^x}$ se $x
$f(x)=1/{1+e^x}$ se $x>=A$

La prima è un'equazione integro-differenziale, dove $lambda_1$, $lambda_0$ e $A$ sono delle costanti.
L'articolo fornisce poi la soluzione $f(x)$ di questo sistema, dicendo che può essere facilmente calcolata, senza spiegare però il procedimento risolutivo.

Di solito, quando uno scrive una cosa del genere, vuol dire che già aveva un'idea di come fosse la soluzione; oppure che ha dato l'equazione in pasto ad un software e l'ha fatta risolvere.

A parte scherzi, hai provato a trasformarla in una EDO?
Basta dividere m.a.m. per \(e^{\lambda_0x}/(1+e^x)\) e derivare... Probabilmente le cose si complicano, però prova lo stesso.

"frapippo":Devo ammettere che la mia conoscenza si ferma alle equazioni differenziali. Avete idea di come risolvere l'equazione integro diff.le sopra scritta? Su internet ho trovato un semplice esempio di equazione integro-diff.le risolta tramite trasformata di Laplace, ma credo che tale metodo sia troppo complicato per essere applicato in questo caso.

La ricerca è anche questo: lasciare stare i metodi generali e concentrarsi su un problema particolare.

Quello che voglio dire è: probabilmente (anzi, quasi sicuramente) non c'è un metodo standard per risolvere questi problemi (qui con "risolvere" intendo: determinare la soluzione in forma esplicita); quindi concentrati sul capire qual è l'idea che ha portato l'autore dell'articolo a cercare e scrivere esplicitamente la soluzione del problema in quella forma.


P.S.: Anche io ho avuto sotto mano un problema del genere (in un articolo che è ancora in referaggio), ma mi bastava provare l'esistenza di qualche soluzione: per fare ciò bastavano le classiche iterate di Picard.

[frapippo1]

Anzitutto grazie per la risposta.

"gugo82":
Di solito, quando uno scrive una cosa del genere, vuol dire che già aveva un'idea di come fosse la soluzione; oppure che ha dato l'equazione in pasto ad un software e l'ha fatta risolvere.

Perché esistono software in grado di risolvere esplicitamente questo tipo di equazioni? Cioè, numericamente possono essere risolte dando una griglia di valori per $x$ e valutando poi $f(x)$ su tale griglia, in modo tale che $f(x)$ risolva il sistema, ma esplicitamente non credo sia possibile..

Comunque l'idea di trasformarla in una EDO credo sia plausibile..