Equazione integrale di Volterra

Giuly191
Sul mio libro trovo scritto:
sia $f: E sube R xx R^n -> R^n$ continua su $E$ e sia $(x_0, ul(y_0)) in E$. La funzione $ul(y)$ è soluzione su $I$ del problema di Cauchy $ul(y')=ul(f)(x,ul(y)(x))$ $ul(y)(x_0)=ul(y_0)$
se e solo se
$ul(y)$ è continua su $I$ e per ogni $x in I$ vale $ul(y)(x)=ul(y_0)+int_(x_0)^(x) ul(f)(t,ul(y)(t))dt$.
Non capisco perchè serve richiedere la continuità della soluzione, a me verrebbe da dire che è già inclusa nel fatto che essendo la $ul(f)(t,ul(y)(t))$ continua, la funzione integrale è derivabile.
Qualcuno sa spiegarmi? Grazie.

Risposte
Rigel1
Se $y$ non è continua non hai modo di dire che la funzione composta $t\mapsto f(t, y(t))$ sia continua.

Giuly191
Ci avevo pensato, però poi non so perchè mi ero convinto venisse detto da qualche parte che $f(t,y(t))$ fosse continua, mentre nell'enunciato (che tra l'altro avevo appena scritto) si parlava solo della continuità dell'applicazione $f$.
Come sempre grazie Rigel!

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