Equazione integrale
Questa è l'equazione integrale di Hallén:
$int_-L^LI(z')(e^(-jbetasqrt(a^2+(z-z')^2))/sqrt(a^2+(z-z')^2))dz'=-2pijV_osinbeta|z|+(4piC)/mucosbetaz$
il testo dice: "risolta tale equazione la costante C è determinata dalla condizione al contorno.." ok!
"essa è un'eq integrale di freedholm di prima specie" ok. Ora ho iniziato a capirci sempre meno "A rigore essa non ammette soluzioni (integrabili) per la corrente I(z):" Perché? "al primo membro, diversemente da quanto accade al secondo, compare una funzione analitica" Qui penso mi manchi qualche concetto elementare! continua: "Ciò si deve ad una approssimazione fatta in predecedenza" ok "che ha eliminato la singolarità nel kermel dell'integrale" Quale dovrebbe essere questa singolarità? e perché il kernel deve avere una singolarità?
$int_-L^LI(z')(e^(-jbetasqrt(a^2+(z-z')^2))/sqrt(a^2+(z-z')^2))dz'=-2pijV_osinbeta|z|+(4piC)/mucosbetaz$
il testo dice: "risolta tale equazione la costante C è determinata dalla condizione al contorno.." ok!
"essa è un'eq integrale di freedholm di prima specie" ok. Ora ho iniziato a capirci sempre meno "A rigore essa non ammette soluzioni (integrabili) per la corrente I(z):" Perché? "al primo membro, diversemente da quanto accade al secondo, compare una funzione analitica" Qui penso mi manchi qualche concetto elementare! continua: "Ciò si deve ad una approssimazione fatta in predecedenza" ok "che ha eliminato la singolarità nel kermel dell'integrale" Quale dovrebbe essere questa singolarità? e perché il kernel deve avere una singolarità?
Risposte
nessuno? 
Mi spiace, la domanda sembra molto interessante, ma non ho le competenze per capirla 
...anzi, probabilmente mi chiederei le stesse cose che ti sei chiesto tu 
Guarda il lato positivo...sei talmente bravo che nessuno può aiutarti
Ciau!
...anzi, probabilmente mi chiederei le stesse cose che ti sei chiesto tu Guarda il lato positivo...sei talmente bravo che nessuno può aiutarti
Ciau!
"pizzaf40":
Mi spiace, la domanda sembra molto interessante, ma non ho le competenze per capirla
Guarda il lato positivo...sei talmente bravo che nessuno può aiutarti
Ciau!
ahahaha
Sono talmente bravo che non so farlo nemmeno io!!!
Il membro di destra non è analitico poichè $sin|z|$ non verifica le equazioni di Cauchy-Riemann, che sono condizioni necessarie per l'analiticità.
L'equazione integrale di Fredholm del primo tipo è $f(x)=\int_a^bK(x,t)\phi(t)dt$, con $f(x)$ e $K(x,t)$ noti e $\phi(t)$ da determinare. Probabilmente la teoria di Fredholm (che non conosco) mostra che nel caso in cui $K(x,t)$ sia analitico e $f(x)$ non lo sia non si hanno soluzioni.
Non capisco l'affermazione riguardo la singolarità, bisognerebbe vedere il discorso che fa in precedenza. Nell'integrale che hai riportato il kernel è singolare nei punti $z'$ tali che $a^2+(z-z')^2=0$.
Spero questo possa esserti di qualche aiuto.
L'equazione integrale di Fredholm del primo tipo è $f(x)=\int_a^bK(x,t)\phi(t)dt$, con $f(x)$ e $K(x,t)$ noti e $\phi(t)$ da determinare. Probabilmente la teoria di Fredholm (che non conosco) mostra che nel caso in cui $K(x,t)$ sia analitico e $f(x)$ non lo sia non si hanno soluzioni.
Non capisco l'affermazione riguardo la singolarità, bisognerebbe vedere il discorso che fa in precedenza. Nell'integrale che hai riportato il kernel è singolare nei punti $z'$ tali che $a^2+(z-z')^2=0$.
Spero questo possa esserti di qualche aiuto.
"Eredir":
Non capisco l'affermazione riguardo la singolarità, bisognerebbe vedere il discorso che fa in precedenza. Nell'integrale che hai riportato il kernel è singolare nei punti $z'$ tali che $a^2+(z-z')^2=0$.
Spero questo possa esserti di qualche aiuto.
Non lo avevo spiegato.
Proviene della fisica, perché l'equazione di Hallén serve a calcolare la distribuzione di corrente I(z) su un'antenna. Ora in questo caso l'antenna è un cilindro di lunghezza L e raggio a. La corrente, cioè la funzione I(z) si distribuisce su tale cilindro, ma quella che ho chiamato "approssimazione fatta in precedenza" consiste nell'aver immaginato che la corrente si distribuisce sull'asse del cilindro...
ho acceso un'altra lapadina!!
"Eredir":
Il membro di destra non è analitico poichè $sin|z|$ non verifica le equazioni di Cauchy-Riemann, che sono condizioni necessarie per l'analiticità.
E il mio prof ha dato ste cose per scontate!!?
Ti riferisci a queste:
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_ ... hy-Riemann
Perché sono necessarie queste ipotesi di analisi complessa se, credo sto lavorando nel campo reale? z non è variabile complessa, ma reale.
"Eredir":
L'equazione integrale di Fredholm del primo tipo è $f(x)=\int_a^bK(x,t)\phi(t)dt$, con $f(x)$ e $K(x,t)$ noti e $\phi(t)$ da determinare. Probabilmente la teoria di Fredholm (che non conosco) mostra che nel caso in cui $K(x,t)$ sia analitico e $f(x)$ non lo sia non si hanno soluzioni.
non ci credo che il mio prof avrebbe stato questa matematica per scontata .. è un pazzo! Non dico spegarla, ma almeno un riferimento.
Dal momento che nell'equazione comparivano numeri complessi ho pensato che $z$ fosse una variabile complessa.
Se $z$ è reale non mi torna il discorso della singolarità, infatti il denominatore del kernel banalmente non si annulla mai.
Inoltre per l'analiticità bisogna vedere con attenzione cosa interessa ai fini del problema, poichè in campo complesso l'analiticità è un requisito più stringente che in campo reale. Ad esempio in campo reale $sin|x|$ è analitica dappertutto tranne che in $x=0$.
Se $z$ è reale non mi torna il discorso della singolarità, infatti il denominatore del kernel banalmente non si annulla mai.
Inoltre per l'analiticità bisogna vedere con attenzione cosa interessa ai fini del problema, poichè in campo complesso l'analiticità è un requisito più stringente che in campo reale. Ad esempio in campo reale $sin|x|$ è analitica dappertutto tranne che in $x=0$.
"Eredir":
Dal momento che nell'equazione comparivano numeri complessi ho pensato che $z$ fosse una variabile complessa.
Se $z$ è reale non mi torna il discorso della singolarità, infatti il denominatore del kernel banalmente non si annulla mai.
Inoltre per l'analiticità bisogna vedere con attenzione cosa interessa ai fini del problema, poichè in campo complesso l'analiticità è un requisito più stringente che in campo reale. Ad esempio in campo reale $sin|x|$ è analitica dappertutto tranne che in $x=0$.
Forse, ho capito. Il primo membro, non ha singolarità e, quindi, è analitica ovunque. Il secondo presenta un punto in cui la funzione non è analitica (anche se mi suona strano il concetto di ANALITICO in $RR$).. e quindi ci occorrerebbe una singolarità anche al primo membro per pareggiare i conti, cosa che ho perso con l'approssimazione...
"raff5184":
Forse, ho capito. Il primo membro, non ha singolarità e, quindi, è analitica ovunque. Il secondo presenta un punto in cui la funzione non è analitica (anche se mi suona strano il concetto di ANALITICO in $RR$).. e quindi ci occorrerebbe una singolarità anche al primo membro per pareggiare i conti, cosa che ho perso con l'approssimazione...
In campo reale una funzione è analitica in un aperto $D\sub\RR$ se per ogni $x\inD$ puoi esprimerla come serie di potenze convergente. La funzione $sin|x|$ non è derivabile in $x=0$, quindi chiaramente non è analitica in questo punto.
Forse può interessarti questa dispensina : le ultime pagine parlano dell'equazione integrale di hallen , dandone una soluzione approssimata .
http://deb.univpm.it/Farina/Lezione%203b.ppt
http://deb.univpm.it/Farina/Lezione%203b.ppt
"Camillo":
Forse può interessarti questa dispensina : le ultime pagine parlano dell'equazione integrale di hallen , dandone una soluzione approssimata .
http://deb.univpm.it/Farina/Lezione%203b.ppt
Lo avevo già letto. Purtroppo non dice molto sulle problematica matematica del problema.
In ogni caso grazie per l'interessamento
Avevo notato che non diceva nulla sulla problematica della soluzione dell'equazione integrale.
Ho voluto segnalarla lo stesso in quanto dava una soluzione approssimata dell'equazione che in un corso di Elettromagnetismo o Antenne e Propagazione , non so quale sia il caso tuo, è quello che interessa .
A meno che il tuo sia un interesse proprio matematico( incuriosisce anche me ) e allora non so aiutarti.
Ho voluto segnalarla lo stesso in quanto dava una soluzione approssimata dell'equazione che in un corso di Elettromagnetismo o Antenne e Propagazione , non so quale sia il caso tuo, è quello che interessa .
A meno che il tuo sia un interesse proprio matematico( incuriosisce anche me ) e allora non so aiutarti.
"Camillo":
Ho voluto segnalarla lo stesso in quanto dava una soluzione approssimata dell'equazione che in un corso di Elettromagnetismo o Antenne e Propagazione , non so quale sia il caso tuo, è quello che interessa .
Antenne
"Camillo":
A meno che il tuo sia un interesse proprio matematico( incuriosisce anche me ) e allora non so aiutarti.
Sisi anche matematico, perché vorrei capire cosa succede
Forse non ve ne importa niente ma ho risolto il problema, o meglio il prof mi ha kchiarito il dubbio, e per questo sono contento e lo posto
Dunque:
z è l'asse del sistema di riferimento che coincide con l'asse del cilindro (antenna)
z' è il punto di osservazione
Allora la corrente deve stare sul cilindro che ha raggio a, ma io la immagino sull'asse z; la discrepanza si crea quando considero la funzione di Green cioè il kernel perché non lo valuto dove sta la corrente, cioè sull'asse ma continuo a valutarlo sulla superficie del cilindro, questo mi fa comparire quell'a al denominatore, per cui perdo la singolarità in z=z'. Se prendessi la funzione di green e la corrente sull'asse z o entrambe sulla superficie del cilindro allora $a$ scompare al denomantore e quando il punto di osservazione z' coincide con il punto z dove ho la corrente ottengo la singolarità necessaria a far quadrare i conti.
Dunque:
z è l'asse del sistema di riferimento che coincide con l'asse del cilindro (antenna)
z' è il punto di osservazione
Allora la corrente deve stare sul cilindro che ha raggio a, ma io la immagino sull'asse z; la discrepanza si crea quando considero la funzione di Green cioè il kernel perché non lo valuto dove sta la corrente, cioè sull'asse ma continuo a valutarlo sulla superficie del cilindro, questo mi fa comparire quell'a al denominatore, per cui perdo la singolarità in z=z'. Se prendessi la funzione di green e la corrente sull'asse z o entrambe sulla superficie del cilindro allora $a$ scompare al denomantore e quando il punto di osservazione z' coincide con il punto z dove ho la corrente ottengo la singolarità necessaria a far quadrare i conti.
"raff5184":
Questa è l'equazione integrale di Hallén:
$int_-L^LI(z')(e^(-jbetasqrt(a^2+(z-z')^2))/sqrt(a^2+(z-z')^2))dz'=-2pijV_osinbeta|z|+(4piC)/mucosbetaz$
il testo dice: "risolta tale equazione la costante C è determinata dalla condizione al contorno.." ok!
"essa è un'eq integrale di freedholm di prima specie" ok. Ora ho iniziato a capirci sempre meno "A rigore essa non ammette soluzioni (integrabili) per la corrente I(z):" Perché? "al primo membro, diversemente da quanto accade al secondo, compare una funzione analitica" Qui penso mi manchi qualche concetto elementare! continua: "Ciò si deve ad una approssimazione fatta in predecedenza" ok "che ha eliminato la singolarità nel kernel dell'integrale" Quale dovrebbe essere questa singolarità? e perché il kernel deve avere una singolarità?
Riprendo questa discussione perché ho gli stessi dubbi riguardanti la stessa frase dello stesso libro
Ho letto le risposte che sono però parziali. Qualcuno potrebbe chiarire la questione? In particolare:
1) Ho capito che il kernel dell'integrale non ha singolarità (z e z' sono variabili reali) e dunque è analitico
2) Perché il secondo membro non è analitico? Le funzioni sinusoidali sono esprimibili come serie di potenze, no? Però ho letto che "La funzione $sin|x|$ non è derivabile in $x=0$, quindi chiaramente non è analitica in questo punto."
3) Basta dunque che i 2 membri non siano analitici anche solo in un punto dell'intervallo di integrazione perché l'equazione di Fredholm non ammetta soluzione? Quali sono le condizioni?
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