Equazione integrale
Determinare quante soluzioni ha l'equazione:
$x=int_0^x e^(-t^2) dt +1$
Io ho derivato ambo i membri, ottenendo: $1=e^(-x^2)$ e quindi ho una doppia soluzione in $x=0$
Però non mi convince il fatto che se faccio una prova, sostiuendo $x=0$ all'equazione, mi esce fuori che $0=1$ e quindi credo ci sia qualche errore nel mio ragionamento. Ma non capisco dove. $f(t)$ è continua su tutto $RR$ quindi lo posso applicare il Secondo teorema del Calcolo Integrale.
Grazie per l'aiuto.
$x=int_0^x e^(-t^2) dt +1$
Io ho derivato ambo i membri, ottenendo: $1=e^(-x^2)$ e quindi ho una doppia soluzione in $x=0$
Però non mi convince il fatto che se faccio una prova, sostiuendo $x=0$ all'equazione, mi esce fuori che $0=1$ e quindi credo ci sia qualche errore nel mio ragionamento. Ma non capisco dove. $f(t)$ è continua su tutto $RR$ quindi lo posso applicare il Secondo teorema del Calcolo Integrale.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Calcolandone la derivata, verifichi subito che la funzione
\[
f(x) := x - \int_0^x e^{-t^2}dt - 1
\]
è strettamente crescente (dunque iniettiva); di conseguenza ammette al più uno zero (gli zeri di \(f\) sono le soluzioni dell'equazione di partenza).
Se riesci a calcolare i limiti per \(x\to \pm\infty\) sei a posto...
\[
f(x) := x - \int_0^x e^{-t^2}dt - 1
\]
è strettamente crescente (dunque iniettiva); di conseguenza ammette al più uno zero (gli zeri di \(f\) sono le soluzioni dell'equazione di partenza).
Se riesci a calcolare i limiti per \(x\to \pm\infty\) sei a posto...
A me esce che $lim_(x->+oo) f(x)=+oo$ e $lim_(x->-oo) f(x)=-oo$. Giusto? Ma questo a cosa mi serve? La questione centrale è ciò che hai detto tu: "la funzione è strettamente crescente e dunque ammette al più uno zero". No?
Ps ma dove sbagliavo io? in effetti in $x=0$, $f(x)=-1$ che quindi non è uno zero della funzione!
Grazie mille...
Ps ma dove sbagliavo io? in effetti in $x=0$, $f(x)=-1$ che quindi non è uno zero della funzione!
Grazie mille...
Una funzione \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continua, strettamente crescente, tale che
\[
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty,\qquad
\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty,
\]
quanti zeri avrà? (Prova a fare un disegno...)
\[
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty,\qquad
\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty,
\]
quanti zeri avrà? (Prova a fare un disegno...)
Uno per forza.....ok ci sono....ho capito perchè è importante che i limti divergano in quel modo....! Grazie mille....
! Grazie mille....
[ot]Quella non è una "equazione integrale"; è semplicemente un'equazione nella forma \(f(x)-x=0\) nella quale la \(f\) è, per pura ventura, una funzione integrale.
Il termine equazione integrale è, di norma, riservato ad equazioni funzionali in cui le incognite (che sono funzioni, non numeri) appaiono come argomento di integrali. Ad esempio, l'equazione:
\[
x(t):= 1+ \int_0^t x(\tau)\ \text{d} \tau
\]
è un'equazione integrale nell'incognita \(x(t)\) (ed ha come unica soluzione la funzione \(x(t):=e^t\)).[/ot]
Il termine equazione integrale è, di norma, riservato ad equazioni funzionali in cui le incognite (che sono funzioni, non numeri) appaiono come argomento di integrali. Ad esempio, l'equazione:
\[
x(t):= 1+ \int_0^t x(\tau)\ \text{d} \tau
\]
è un'equazione integrale nell'incognita \(x(t)\) (ed ha come unica soluzione la funzione \(x(t):=e^t\)).[/ot]
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