Equazione in$CC$

[marygrazy]

$(z+3i)^(4)=(i-1)$

ho quest'equazione nei campo dei complessi da risolvere e nn so cm prodecere.. chi ma da la via da seguire???

[blackbishop13]

scrivi $z=a+bi$ con $a,b in RR$ e poi svolgi i conti, questo è il metodo standard.

oppure è meglio di solito passare alle scrittura esponenziale dei complessi, e i conti si semplificano.

[marygrazy]

io ho riscritto:
$(x+i(3+y))^(4)=(i-1)$
ma poi nn so procedere..

[regim]

Il numero che devi trovare deve avere un angolo che moltiplicato per $4$ deve coincidere con quello che corrisponde a $i-1$.
Per quel che concerne il modulo, elevato alla quarta deve darti $sqrt(2)$.
Quindi comincia a vedere l'equazione in questo modo:

$w^4 = sqrt(2)*e^(i*(3*pi)/4)$

L'angolo di $w$ chiamiamolo $theta$ e vale $theta = (3*pi)/16$ in gradi sessagesimali $theta=33.75$.

Al $w$ che trovi sottrai $-3i$ e hai il $z$ che ti serve, e il gioco è fatto.
Per le altre 3 soluzioni, ricorda che, se prendi l'opposto di $w$, cioè $-w$, elevato alla quarta, hai sempre una soluzione dell'equazione.
Ma meglio è considerare di prendere l'angolo che lo rappresenta, questo è $180 + theta$, se lo moltiplichi per $4$ cosa hai? $720 = 0$ (sono espressi in gradi ovviamente) e poi hai $4*theta$ come dovrebbe essere.
Le altre due soluzione le trovi se consideri che $4*pi/2$ in sessagesimali vale $360 = 0$ quindi l'angolo della nuova soluzione è $theta + 90$ e il suo opposto è l'angolo della quarta soluzione. Per i moduli, trovato uno, sono tutti uguali per tutte le altre tre soluzioni.
In pratica trovato uno ce l'hai tutti, perchè le soluzioni formano una croce celtica questo perchè la potenza è $4$ ovviamente.