Equazione in $\mathbb{C}$.. qualche idea?..

[21zuclo]

Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio, ma non riesco a trovare un modo per non svolgere calcoli assurdi rischiando di sbagliare. Aiutatemi per favore. Datemi qualche suggerimento.. Grazie in anticipo.

Risolvere in campo complesso la seguente equazione $z^4-2|z|^(2)-2=0$

all'inizio avevo pensato di porre $z=x+iy$..
ma verrebbe $(x+iy)^4-2(x^2+y^2)-2=0$..ma decisamente sono troppi conti rischiando di sbagliare..

ho pensato anche di fare la sostituzione $z^2=y$.. eh però c'è un problema c'è un $|z|^2$..

che ok $|z|^2=z\bar{z}$.. boh non so

Qualche altra idea?.. Ah non posso mettere in forma esponenziale perchè sono somme, se erano prodotti lo potevo fare

[Pierlu11]

Prova a sostituire $ z=rhoe^(itheta) $ all'equazione vista in questo modo: $ z^4=2|z|^2+2 $ ...

[21zuclo]

"Pierlu11":Prova a sostituire $ z=rhoe^(itheta) $ all'equazione vista in questo modo: $ z^4=2|z|^2+2 $ ...

ma se anche faccio come dici tu..al secondo membro ho una somma..ho $2|z|^2 +2$

mi verrebbe $\rho e^(i4\theta)=2\rho^2 +2e^(i0)$

che poi è sbagliato eguagliare i $\rho$.. me l'aveva detto il mio esercitatore, che si può utilizzare la forma esponenziale (o trigonometrica) solo quando hai a che fare con prodotti o divisioni..

e infatti in un'equazione complessa che avevo risolto tempo fa, avevo fatto così con le somme, cioè ho riportato tutto in forma esponenziale..e mi usciva solamente una soluzione..e invece le soluzini erano 6..

mi ricordo che l'esercitatore ci aveva detto
"due numeri complessi sono uguali, se hanno lo stesso modulo e lo stesso argomento a meno di periodicità"

[Pierlu11]

Anche se in questo caso non ci sono solo prodotti o divisioni puoi considerare il fatto che a secondo membro non hai parti immaginarie ma solo un reale... per questo motivo ti puoi muovere in questo modo:
$ rho^4e^(4itheta)=2rho^2+2 $
$ { ( rho^4=2rho^2+2 ),( e^(4itheta)=e^(i0) ):} $
$ { ( rho^4-2rho^2-2=0 ),( 4theta=2kpi ):} $
...

[_prime_number]

Mmm tricky... Quello che mi viene in mente è questo:
$z^4 - 2|z|^2-2 =0$ equivale a $(\bar{z})^4 - 2|z|^2 - 2=0$ quindi $z^4 = (\bar{z})^4$ quindi
$z=\pm\bar{z},\pm i\bar{z}$... non so se può aiutare..

Paola

[21zuclo]

"prime_number":Mmm tricky... Quello che mi viene in mente è questo:
$z^4 - 2|z|^2-2 =0$ equivale a $(\bar{z})^4 - 2|z|^2 - 2=0$ quindi $z^4 = (\bar{z})^4$ quindi
$z=\pm\bar{z},\pm i\bar{z}$... non so se può aiutare..

Paola

@Paola
perchè dopo aver messo $(\bar{z})^4-2|z|^2 -2=0$..dici quindi.. $z^4=(\bar{z})^4$ .. ?

[_prime_number]

Perchè entrambi sono uguali a $2|z|^2 + 2$.

Paola

[21zuclo]

ah ok ..capito!

però questo almeno mi dice come sono le soluzioni.. cioè che le soluzioni saranno 2 reali coniugate e 2 complesse coniugate, perchè come ben detto tu viene $z=\pm \bar{z}\vee z=\pm i \bar{z}$

però per trovarle, posso fare come la idea iniziale che avevo scritto, ma non so se è esatta..

volevo porre $z^2=t$ così mi veniva $t^2-2t-2=0$

certo $|z|^2=z^2 \in \mathbb{R}$..

può funzionare questo ragionamento?..non so chiedo XD ..

comunque buona osservazione Paola!

[_prime_number]

Sì dopo per ogni caso sfrutti questo tipo di idea... tanto sai per certo (teorema fondamentale dell'algebra) che le soluzioni saranno $4$ quindi così dovresti trovarle tutte senza troppo morire..

Paola