Equazione in $CC$ . Dubbio risoluzione

[21zuclo]

Risolvere la seguente equazione $ (z^2-(bar(z) )^2)/(z^2+1)=z-bar(z) $

ho pensato alla forma algebrica ponendo $ z=x+iy $
dato che $ z-bar(z)=2i y $

$ ((x+iy)^2-(x-iy)^2)/((x+iy)^2+1)=2iy $

$ (4xyi )/(x^2-y^2+2xyi +1)=2iy $

$ 4xyi =2iy (x^2-y^2+2xyi+1)$

$ 4xyi=2x^2yi-2y^3i+4xy^2i^2+2iy $

tenendo presente che $ i^2=-1 $
$ 4xyi=2x^2yi-2y^3i-4xy^2+2iy $

il problema è che ora non so come andare avanti.

[pilloeffe]

Ciao 21zuclo,

Comincerei con l'osservare che certamente $z = 0 $ e $z = 1 $ sono soluzioni dell'equazione proposta. Poi scriverei il numeratore della frazione nel modo seguente:

$z^2 - \bar{z}^2 = (z + bar{z})(z - bar{z}) $

Il secondo fattore di questa scomposizione è proprio ciò che compare al secondo membro dell'equazione proposta...

[21zuclo]

"pilloeffe":Ciao 21zuclo,

Comincerei con l'osservare che certamente $z = 0 $ e $z = 1 $ sono soluzioni dell'equazione proposta. Poi scriverei il numeratore della frazione nel modo seguente:

$z^2 - \bar{z}^2 = (z + bar{z})(z - bar{z}) $

Il secondo fattore di questa scomposizione è proprio ciò che compare al secondo membro dell'equazione proposta...

Ok!.. quindi poi si divide il tutto per $z-\bar(z)$ e quindi rimane
$ (z+\bar(z))/(z^2+1)=1\to z+\bar(z)=z^2+1 $

quindi
$z^2+1=z+\bar(z)$

ora in forma esponenziale?
$ \rho^2exp(i2\theta)+1=\rhoexp(i\theta)+\rhoexp(-\itheta) $

sfruttando $ exp(-i\theta)=(1)/(e^(i\theta)) $

si ottiene
$ \rho^2exp(i3\theta)+exp(i\theta)=\rhoexp(i2\theta)+\rho $

però ancora non posso uguagliare $\rho$ e neanche gli angoli, che differiscono per un multiplo di $2\pi$

come potrei fare?..

[pilloeffe]

La forma esponenziale non è comoda quando ci sono di mezzo delle somme...
Prova a scrivere l'equazione proposta nella forma seguente:

$(z - \bar{z})\cdot (\frac{z + \bar{z}}{z^2 + 1} - 1) = 0 $

Poi sfrutti la legge di annullamento del prodotto considerando che $z = x + iy \implies z - \bar{z} = 2iy $ e $ z + \bar{z} = 2x $

[21zuclo]

"pilloeffe":La forma esponenziale non è comoda quando ci sono di mezzo delle somme...
Prova a scrivere l'equazione proposta nella forma seguente:

$(z - \bar{z})\cdot (\frac{z + \bar{z}}{z^2 + 1} - 1) = 0 $

Poi sfrutti la legge di annullamento del prodotto considerando che $z = x + iy \implies z - \bar{z} = 2iy $ e $ z + \bar{z} = 2x $

Ok, quindi si ha $ z-\bar(z)=0 \vee (z+\bar(z))/(z^2+1)-1=0 $

eh ho problemi sulla seconda, cioè $(z+\bar(z))/(z^2+1)-1=0 $

che diventa $ (z+\bar(z))/(z^2+1)=1\to z+\bar(z)=z^2+1 $

anche facendo $ z=x+iy $ avrei

$ 2x=x^2-y^2+2ixy+1 $

va tutto a sistema?

$ { ( x^2-y^2+1=0 ),( 2xy=2x ):} $

altrimenti non saprei che strada prendere..

[pilloeffe]

Da $z - \bar{z} = 0 \implies y = 0 $
Nell'equazione $ z+\bar(z)=z^2+1 $ il primo membro è reale e pari a $ 2x $, mentre il secondo è complesso: l'unica possibilità è che la parte immaginaria si annulli, cioè $x y = 0 \implies x = 0 \vv y = 0 $
Attenzione che ovviamente vanno esclusi i valori $z = i $ e $z = - i $ che annullano il denominatore della frazione...

[21zuclo]

"pilloeffe":Da $z - \bar{z} = 0 \implies y = 0 $
Nell'equazione $ z+\bar(z)=z^2+1 $ il primo membro è reale e pari a $ 2x $, mentre il secondo è complesso: l'unica possibilità è che la parte immaginaria si annulli, cioè $x y = 0 \implies x = 0 \vv y = 0 $
Attenzione che ovviamente vanno esclusi i valori $z = i $ e $z = - i $ che annullano il denominatore della frazione...

capito!..grazie!

quindi le soluzioni finali sono

$ z-\bar(z)=0 \to y=0 \to z=x+iy \to z=x $

poi le soluzioni riguardo la l'equazione $ z+\bar(z)=z^2+1 $
con $x=0$ le soluzioni non sono accettabili, in quanto $ z\ne\pm i $

mentre invece per $y=0$ si ha $ x=1 $ quindi $ z=1 $

ho calcolato le soluzioni poi mettendo $z=x+iy$, ottengo $z=1$

Giusto?..

[pilloeffe]

Sì, in pratica le uniche due soluzioni accettabili sono $z = 0 $ e $z = 1 $, che sono quelle che ti avevo scritto nel mio primo post. Mi piace questo esercizio, pochi calcoli semplici e per il resto ragionamento. Posso chiederti da dove l'hai preso?

[Camillo]

Mi sembra la soluzione più generale sia $z = (alpha,0)$ con $ alpha in RR $

[pilloeffe]

Sì, chiedo scusa, ha ragione Camillo: qualsiasi numero reale è soluzione dell'equazione proposta.

[21zuclo]

"pilloeffe":Mi piace questo esercizio, pochi calcoli semplici e per il resto ragionamento. Posso chiederti da dove l'hai preso?

Era un vecchio esercizio che avevo lasciato indietro, a volte mi piace ripassare sugli esercizi che a suo tempo avevo lasciato a parte.

Comunque mi piace anche a me l'esercizio!..

[dissonance]

"Camillo":Mi sembra la soluzione più generale sia $z = (alpha,0)$ con $ alpha in RR $

@21zuclo: Tu invece di buttarti a fare conti a capofitto devi fermarti un momento a ragionare. La soluzione di Camillo è corretta. Tu invece, a un certo punto hai addirittura diviso per \(z-\overline z\), senza fare nessuna considerazione sul fatto che quel termine si può annullare. Ora, quel termine si annulla esattamente per \(z\in\mathbb R\); quindi tu, dividendo così, stai perdendo tutte le soluzioni.

In un esame, un errore così madornale come dividere per zero fa perdere moltissimi punti: fai attenzione quando dividi.