Equazione in $CC$

[Seneca1]

Buonasera.

Risolvendo un'equazione complessa mi sono ritrovato con le seguenti soluzioni:

$z = 0$ e $ { ( x = cos(2y) ),( y - sin(2y) = 0 ):}$ (ove $z = x + i y$)

Ho qualche difficoltà di interpretazione. Dalla seconda equazione del sistema si può concludere che $y = cc(I)m (z)$ ha 3 soluzioni (graficamente...). $cc(I)m (z) = 0, y_1 , y_2$. Corrispondentemente, dalla prima equazione:
$ cc(R)e (z) = 1 , cos(2y_1) , cos(2 y_2)$.

Allora le soluzioni sono: $ { ( z_1 = 0),( z_2 = 1 ),( z_3 = cos(2 y_1) + i y_1 ),( z_4 = cos(2 y_2) + i y_2 ):}$

Giusto?

[gugo82]

In linea di principio sì, ma ovviamente per averne certezza bisogna guardare in faccia l'equazione.

[Seneca1]

Ti ringrazio. L'equazione è la seguente: $bar z e^(z) - |z|^2 e^(bar z) = 0$

[Seneca1]

In particolare, se $z != 0$, ottengo equivalentemente

$1 - (|z|^2)/(bar z ) e^(bar z - z) = 0$

$1 = (z * bar z)/(bar z ) e^(bar z - z) $

$e^(z - bar z ) = z $ ovvero

$e^(2 i y) = x + i y$

$cos(2y) + i sin(2y) = x + i y$

Da cui le equazioni che ho scritto.

[Palliit]

Scusate l'intromissione: dalla [tex]z=e^{z-z^{*}}[/tex] (spero non sia un problema se indico il complesso coniugato con l'asterisco) si deduce che [tex]\left | z \right |=1[/tex] per cui si può porre : [tex]z=e^{i\varphi }[/tex], con [tex]\varphi \in \mathbb{R}[/tex] ; sostituendo nella prima ed eguagliando gli esponenti si trova quasi subito: [tex]\frac{1}{2}\varphi =\sin\varphi[/tex] che oltre alla soluzione evidente [tex]\varphi =0[/tex] (quindi [tex]z =1[/tex] ) dà per [tex]\varphi[/tex] le altre due soluzioni opposte deducibili (mi pare) soltanto graficamente (circa ±1.898), cui corrispondono le due soluzioni complesse coniugate per [tex]z[/tex]. Può funzionare? Io le "vedo" meglio così che non esprimendo z in forma algebrica, ma è questione di gusti...