Equazione in $CC$
Sto cercando di risolvere la seguente equazione, ma non so bene come si può fare:
$z^4=bar(z)^2$
Ho pensato di sostituire la forma algebrica:
$(x+iy^4)=(x-iy)^2$ ma sviluppandolo viene troppo lungo
Con la forma esponenziale viene qualcosa di più decente:
$sqrt(x^2+y^2)e^(4itheta)=sqrt(x^2+y^2)e^(-2itheta)$
Da cui $sqrt(x^2+y^2)=0 => z=0$ è una soluzione, eppoi da $e^(4itheta)=e^(-2itheta)$ ottengo $theta=0$.
Ma ora? le altre soluzioni sono $z=+-1$ ma non so come ottenerle...
Un aiutino? Grazie 1000
$z^4=bar(z)^2$
Ho pensato di sostituire la forma algebrica:
$(x+iy^4)=(x-iy)^2$ ma sviluppandolo viene troppo lungo
Con la forma esponenziale viene qualcosa di più decente:
$sqrt(x^2+y^2)e^(4itheta)=sqrt(x^2+y^2)e^(-2itheta)$
Da cui $sqrt(x^2+y^2)=0 => z=0$ è una soluzione, eppoi da $e^(4itheta)=e^(-2itheta)$ ottengo $theta=0$.
Ma ora? le altre soluzioni sono $z=+-1$ ma non so come ottenerle...
Un aiutino? Grazie 1000
Risposte
In forma algebrica non viene troppo lunga: scrivi $z^4-bar(z)^2=0$ come $(z^2-bar(z))(z^2+bar(z))=0$, da cui scrivendo $z=x+iy$ hai
$(x^2-y^2+2ixy+x-iy)(x^2-y^2+2ixy-x+iy)=0$
Quindi imponi l'azzerarsi dei fattori.
A) $x^2-y^2+2ixy+x-iy=0$ significa $2xy-y=0$ e $x^2-y^2+x=0$. Quindi hai:
A1) $y=0,\ x=0$
A2) $y=0,\ x=-1$
A3) $x=1/2,\ y=sqrt(3)/2$
A4) $x=1/2,\ y=-sqrt(3)/2$
B) $x^2-y^2+2ixy-x+iy=0$ significa $2xy+y=0$ e $x^2-y^2-x=0$. Quindi hai:
B1) $y=0,\ x=0$
B2) $y=0,\ x=1$
B3) $x=-1/2,\ y=sqrt(3)/2$
B4) $x=-1/2,\ y=-sqrt(3)/2$
Quindi oltre all'origine hai i complessi di modulo uno e argomento tutti i multipli di $pi/3$. Il che mi fa sospettare che fosse più veloce usare la forma esponenziale, ma personalmente amo di più quella algebrica
Ciao.
$(x^2-y^2+2ixy+x-iy)(x^2-y^2+2ixy-x+iy)=0$
Quindi imponi l'azzerarsi dei fattori.
A) $x^2-y^2+2ixy+x-iy=0$ significa $2xy-y=0$ e $x^2-y^2+x=0$. Quindi hai:
A1) $y=0,\ x=0$
A2) $y=0,\ x=-1$
A3) $x=1/2,\ y=sqrt(3)/2$
A4) $x=1/2,\ y=-sqrt(3)/2$
B) $x^2-y^2+2ixy-x+iy=0$ significa $2xy+y=0$ e $x^2-y^2-x=0$. Quindi hai:
B1) $y=0,\ x=0$
B2) $y=0,\ x=1$
B3) $x=-1/2,\ y=sqrt(3)/2$
B4) $x=-1/2,\ y=-sqrt(3)/2$
Quindi oltre all'origine hai i complessi di modulo uno e argomento tutti i multipli di $pi/3$. Il che mi fa sospettare che fosse più veloce usare la forma esponenziale, ma personalmente amo di più quella algebrica
Ciao.
"gygabyte017":
Sto cercando di risolvere la seguente equazione, ma non so bene come si può fare:
$z^4=bar(z)^2$
Ho pensato di sostituire la forma algebrica:
$(x+iy^4)=(x-iy)^2$ ma sviluppandolo viene troppo lungo
Con la forma esponenziale viene qualcosa di più decente:
$sqrt(x^2+y^2)e^(4itheta)=sqrt(x^2+y^2)e^(-2itheta)$
Da cui $sqrt(x^2+y^2)=0 => z=0$ è una soluzione, eppoi da $e^(4itheta)=e^(-2itheta)$ ottengo $theta=0$.
Ma ora? le altre soluzioni sono $z=+-1$ ma non so come ottenerle...
Un aiutino? Grazie 1000
Usa la forma polare : $z=rho*e^(i*theta)$ per cui $z^4=rho^4*e^(i*4theta),bar(z)^2=rho^2*e^(-i*2theta)$ da cui
$rho^4*e^(i*4theta)=rho^2*e^(-i*2theta)$ $<=>$ ${(rho^4=rho^2),(4theta=-2theta+2kpi):}$ $<=>$ ${(rho^2(rho^2-1)=0),(theta=kpi/3):}$
e cioè ${(rho=0),(rho=+-1):} U(theta=kpi/3)$. Ovviamente per ipotesi $rho>=0$ per cui la soluzione con $rho=-1$ va scartata.
Quindi le soluzioni sono: $z=0,z=e^(i*kpi/3)$
"Martino":
...
Beh si è più veloce l'esponenziale!
"nicola de rosa":
[quote="gygabyte017"]Sto cercando di risolvere la seguente equazione, ma non so bene come si può fare:
$z^4=bar(z)^2$
Ho pensato di sostituire la forma algebrica:
$(x+iy^4)=(x-iy)^2$ ma sviluppandolo viene troppo lungo
Con la forma esponenziale viene qualcosa di più decente:
$sqrt(x^2+y^2)e^(4itheta)=sqrt(x^2+y^2)e^(-2itheta)$
Da cui $sqrt(x^2+y^2)=0 => z=0$ è una soluzione, eppoi da $e^(4itheta)=e^(-2itheta)$ ottengo $theta=0$.
Ma ora? le altre soluzioni sono $z=+-1$ ma non so come ottenerle...
Un aiutino? Grazie 1000
Usa la forma polare : $z=rho*e^(i*theta)$ per cui $z^4=rho^4*e^(i*4theta),bar(z)^2=rho^2*e^(-i*2theta)$ da cui
$rho^4*e^(i*4theta)=rho^2*e^(-i*2theta)$ $<=>$ ${(rho^4=rho^2),(4theta=-2theta+2kpi):}$ $<=>$ ${(rho^2(rho^2-1)=0),(theta=kpi/3):}$
e cioè ${(rho=0),(rho=+-1):} U(theta=kpi/3)$. Ovviamente per ipotesi $rho>=0$ per cui la soluzione con $rho=-1$ va scartata.
Quindi le soluzioni sono: $z=0,z=e^(i*kpi/3)$[/quote]
Ho capito il ragionamento, ma mi sfugge qualcosa...
La soluzione $z=0$ è ok.
Nel caso $rho=1$, avrei $z=1*e^(i0)=1$, $z=1*e^(ipi/3)$, $z=1*e^(i2/3pi)$, $z=1*e^(ipi)$, $z=1*e^(i4/3pi)$ ecc ecc
Innanzitutto $k$ tra che valori varia? Eppoi in teoria le altre due soluzioni sarebbero dovute essere $+1$, che viene se $k=0$, e $-1$ ma questa come la si ottiene?!? Eppoi tutte le altre al variare di $k$ che c'entrano?!?
RiGrazie
"gygabyte017":
[quote="Martino"]...
Beh si è più veloce l'esponenziale!
"nicola de rosa":
[quote="gygabyte017"]Sto cercando di risolvere la seguente equazione, ma non so bene come si può fare:
$z^4=bar(z)^2$
Ho pensato di sostituire la forma algebrica:
$(x+iy^4)=(x-iy)^2$ ma sviluppandolo viene troppo lungo
Con la forma esponenziale viene qualcosa di più decente:
$sqrt(x^2+y^2)e^(4itheta)=sqrt(x^2+y^2)e^(-2itheta)$
Da cui $sqrt(x^2+y^2)=0 => z=0$ è una soluzione, eppoi da $e^(4itheta)=e^(-2itheta)$ ottengo $theta=0$.
Ma ora? le altre soluzioni sono $z=+-1$ ma non so come ottenerle...
Un aiutino? Grazie 1000
Usa la forma polare : $z=rho*e^(i*theta)$ per cui $z^4=rho^4*e^(i*4theta),bar(z)^2=rho^2*e^(-i*2theta)$ da cui
$rho^4*e^(i*4theta)=rho^2*e^(-i*2theta)$ $<=>$ ${(rho^4=rho^2),(4theta=-2theta+2kpi):}$ $<=>$ ${(rho^2(rho^2-1)=0),(theta=kpi/3):}$
e cioè ${(rho=0),(rho=+-1):} U(theta=kpi/3)$. Ovviamente per ipotesi $rho>=0$ per cui la soluzione con $rho=-1$ va scartata.
Quindi le soluzioni sono: $z=0,z=e^(i*kpi/3)$[/quote]
Ho capito il ragionamento, ma mi sfugge qualcosa...
La soluzione $z=0$ è ok.
Nel caso $rho=1$, avrei $z=1*e^(i0)=1$, $z=1*e^(ipi/3)$, $z=1*e^(i2/3pi)$, $z=1*e^(ipi)$, $z=1*e^(i4/3pi)$ ecc ecc
Innanzitutto $k$ tra che valori varia? Eppoi in teoria le altre due soluzioni sarebbero dovute essere $+1$, che viene se $k=0$, e $-1$ ma questa come la si ottiene?!? Eppoi tutte le altre al variare di $k$ che c'entrano?!?
RiGrazie[/quote]
Ovviamente $k in ZZ$ vista la periodicità dell'esponenziale complesso. Ad esempio $z=-1$ la ottieni per $k=3$. Infatti $z_(k=3)=e^(i*pi)=-1$
Chiarissimo!
Grazie ancora!
Grazie ancora!
"Martino":
In forma algebrica non viene troppo lunga: scrivi $z^4-bar(z)^2=0$ come $(z^2-bar(z))(z^2+bar(z))=0$
A questo punto è utile fare queste considerazioni:
$z=0$ è soluzione dell'equazione;
le altre soluzioni stanno sul cerchio unitario ($|z|=1$);
$z^2-bar(z) = 0$ si risolve considerando che $z \cdot bar(z) = |z|^2$:
$z^2-bar(z) = 0 \rightarrow z^2=bar(z) \rightarrow z^2 \cdot z = \bar(z) \cdot z \rightarrow z^3 = |z|^2$
visto che $|z|=1$ si ottiene l'equazione $z^3=1$.
Per l'altra equazione $z^2+bar(z)=0$ si ottiene (analogamente) $z^3 = -1$.
Francesco Daddi
Vero
L'algebra si batte bene.
L'algebra si batte bene.
"Martino":
Vero
L'algebra si batte bene.
E rende facile la vita!
Francesco Daddi
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