Equazione in campo complesso
Buon giorno a tutti. Ho difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio:
$ (z^2 - 2iz -1)( bar(z) + i)= 1 $
Dopo una serie di passaggi l'ho ricondotta anche alla seguente:
$ z^3+i (-z^2-1)+z-1 =0 $
Qualcuno ha dei suggerimenti su come risolverla? Io ho provato a scrivere z nella sua forma algebrica $z =(Re z + i Im z)$
Alla fine ponendo la parte reale e quella immaginaria uguale a 0, mi esce un sistema di due equazioni di 3° grado che non so risolvere.
Se qualcuno volesse gentilmente cimentarsi e spiegarmi o soltanto proporre una strategia risolutiva gliene sarei grato.
$ (z^2 - 2iz -1)( bar(z) + i)= 1 $
Dopo una serie di passaggi l'ho ricondotta anche alla seguente:
$ z^3+i (-z^2-1)+z-1 =0 $
Qualcuno ha dei suggerimenti su come risolverla? Io ho provato a scrivere z nella sua forma algebrica $z =(Re z + i Im z)$
Alla fine ponendo la parte reale e quella immaginaria uguale a 0, mi esce un sistema di due equazioni di 3° grado che non so risolvere.
Se qualcuno volesse gentilmente cimentarsi e spiegarmi o soltanto proporre una strategia risolutiva gliene sarei grato.
Risposte
Io farei in questo modo:
$(z^2-2iz-1)(bar(z)+i)=(z-i)^2(bar(z)+i)=1$
Ora $z=x+iy$ con $x,y in RR$:
$(x+iy-i)^2(x-iy+i) = (x+i(-1+y))^2(x+i(1-y)) = (x+i(-1+y))(x-i(1-y))(x+i(1-y))=(x+i(-1+y))(x^2+(1-y)^2)$, ora dalla moltiplicazione avremo:
$(x+i(-1+y))(x^2+(1-y)^2) = x^3+x(1-y)^2-ix^2(1-y)-i(1-y)^3 = x^3+x(1-y)^2 -i((1-y)(x^2+(1-y)^2))$.
Affinchè l'ultima espressione sia uguale a 1, deve avere parte immaginaria uguale a zero:
$(1-y)(x^2+(1-y)^2)=0$ verificata per $(y=1) uu (x=0,y=1)$
Analizziamo la soluzione per $y=1$:
la parte reale dell'espressione sopra dovrà essere unitaria:
$x^3+x(1-y)^2=1$ essendo $y=1$ si avrà $x^3=1$ cioè $x=pm1$. Quindi la prima soluzione sarà: $z=pm1+i$.
Ora proviamo con $(x=0,y=1)$:
$x^3+x(1-y)^2=1$, essendo $(x=0,y=1)$ si avrà $0=1$ il che non soddisfa la condizione.
Di conseguenza le uniche due soluzioni saranno $z=pm1+i$
$(z^2-2iz-1)(bar(z)+i)=(z-i)^2(bar(z)+i)=1$
Ora $z=x+iy$ con $x,y in RR$:
$(x+iy-i)^2(x-iy+i) = (x+i(-1+y))^2(x+i(1-y)) = (x+i(-1+y))(x-i(1-y))(x+i(1-y))=(x+i(-1+y))(x^2+(1-y)^2)$, ora dalla moltiplicazione avremo:
$(x+i(-1+y))(x^2+(1-y)^2) = x^3+x(1-y)^2-ix^2(1-y)-i(1-y)^3 = x^3+x(1-y)^2 -i((1-y)(x^2+(1-y)^2))$.
Affinchè l'ultima espressione sia uguale a 1, deve avere parte immaginaria uguale a zero:
$(1-y)(x^2+(1-y)^2)=0$ verificata per $(y=1) uu (x=0,y=1)$
Analizziamo la soluzione per $y=1$:
la parte reale dell'espressione sopra dovrà essere unitaria:
$x^3+x(1-y)^2=1$ essendo $y=1$ si avrà $x^3=1$ cioè $x=pm1$. Quindi la prima soluzione sarà: $z=pm1+i$.
Ora proviamo con $(x=0,y=1)$:
$x^3+x(1-y)^2=1$, essendo $(x=0,y=1)$ si avrà $0=1$ il che non soddisfa la condizione.
Di conseguenza le uniche due soluzioni saranno $z=pm1+i$
Grazie mille! dalla tua risposta ho capito che non sbagliavo metodo e che le risoluzioni sono particolarmente difficili!
Hai commesso un unico errore alla fine : $x^3=1$ se e solo se x =1 no +o- 1!!
Hai commesso un unico errore alla fine : $x^3=1$ se e solo se x =1 no +o- 1!!
Hai ragione... 
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