Equazione in C: z^4=(1+2i)^2 / (-3+i)^2
Ciao a tutti! Sono giorni che macino equazioni sui numeri complessi e questo è l'ultimo esercizio che ho.. ovviamente quest'ultimo ex mi mette i bastoni tra le ruote e non vuole darmi la soddisfazione di accantonare le prove d'esame con le equazioni in C.. proprio per questa sua perseveranza nel non-farsi-risolvere, l'esercizio si è meritato il soprannome di "il maledetto"!
L'equazione è questa
$z^4=(1+2i)^2 / (-3+i)^2$ ... a prima vista nessun problema, sviluppo i quadrati, e ottengo $z^4=(-3+4i)/(8-6i)$, poi "razionalizzo" il denominatore e ho $z^4=-24/50 +7i/50$ .. lo porto in forma trigonometrica $p(cos a + i sin a)$
$p=1/2; cos a=((-24/50)/(1/2)),a=arccos(-24/25); sin a=((7/50)/(1/2)),a=arcsin(7/25);$..gli angoli non si prestano ad essere scritti come multipli di $pi$ .
Perciò ho $z^4=1/2(cos (arccos(-24/25))+i sin(arcsin(7/25)))$
ora.. le radci del numero le ho calcolate così
$z_0=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+0))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+0))]$
$z_1=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+2pi))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+2pi))]$
$z_2=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+4pi))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+4pi))]$
$z_3=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+6pi))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+6pi))]$
Però, andando a controllare su Wolframalpha ho che i risultati non tornano ..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z% ... %29%29%5E2
Ho provato a vedere se fossero equivalenti, visto che sul sito sono scritti in forma cartesiana, ma non è così!
Dove sbaglio secondo voi ragazzi?
L'equazione è questa
$z^4=(1+2i)^2 / (-3+i)^2$ ... a prima vista nessun problema, sviluppo i quadrati, e ottengo $z^4=(-3+4i)/(8-6i)$, poi "razionalizzo" il denominatore e ho $z^4=-24/50 +7i/50$ .. lo porto in forma trigonometrica $p(cos a + i sin a)$
$p=1/2; cos a=((-24/50)/(1/2)),a=arccos(-24/25); sin a=((7/50)/(1/2)),a=arcsin(7/25);$..gli angoli non si prestano ad essere scritti come multipli di $pi$ .
Perciò ho $z^4=1/2(cos (arccos(-24/25))+i sin(arcsin(7/25)))$
ora.. le radci del numero le ho calcolate così
$z_0=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+0))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+0))]$
$z_1=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+2pi))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+2pi))]$
$z_2=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+4pi))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+4pi))]$
$z_3=(1/2)^(1/4)[cos (1/4*(arccos(-24/25)+6pi))+i sin(1/4*(arcsin(7/25)+6pi))]$
Però, andando a controllare su Wolframalpha ho che i risultati non tornano ..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z% ... %29%29%5E2
Ho provato a vedere se fossero equivalenti, visto che sul sito sono scritti in forma cartesiana, ma non è così!
Dove sbaglio secondo voi ragazzi?
Risposte
Si, ma devi fare attenzione a definire gli angoli tramite le funzioni inverse, perchè ad esempio $arccos(1/2)={(\pi)/(3),(-\pi)/(3)}$
"Quinzio":
Si, ma devi fare attenzione a definire gli angoli tramite le funzioni inverse, perchè ad esempio $arccos(1/2)={(\pi)/(3),(-\pi)/(3)}$
$[arccos(1/2)=pi/3]$
Grazie per le risposte e grazie al solito Quinzio che mi da una mano con queste cose 
Si, hai ragione a dire quelle cose su gli angoli!Infatti credo che il mio errore sia in qualche passaggio per arrivare alla forma trigonometrica! Io ho ragionato così: per portare il numero $-24/50+7i/50$ in forma trigonometrica, prendo nota che il punto si trova nel secondo quadrante (cioè $Re(z)<0 , Im(z)>0$) e quindi devo avere che, detto a l'argomento $cos a <0 , sin a >0$..
e quindi non è sbagliato scrivere$-24/50+7i/50=1/2(cos(arccos(−24/25))+isin(arcsin(7/25)))$
noto ora una cosa..$arccos(−24/25)!=arcsin(7/25)$... perché?!
Forse è qua l'errore?
Si, hai ragione a dire quelle cose su gli angoli!Infatti credo che il mio errore sia in qualche passaggio per arrivare alla forma trigonometrica! Io ho ragionato così: per portare il numero $-24/50+7i/50$ in forma trigonometrica, prendo nota che il punto si trova nel secondo quadrante (cioè $Re(z)<0 , Im(z)>0$) e quindi devo avere che, detto a l'argomento $cos a <0 , sin a >0$..
e quindi non è sbagliato scrivere$-24/50+7i/50=1/2(cos(arccos(−24/25))+isin(arcsin(7/25)))$
noto ora una cosa..$arccos(−24/25)!=arcsin(7/25)$... perché?!
Forse è qua l'errore?
$[theta=pi-arctan(7/24)] ^^ [costheta=-24/25] ^^ [sentheta=7/25]$
$[theta_1=1/4pi-1/4arctan(7/24)]$
$[theta_2=3/4pi-1/4arctan(7/24)]$
$[theta_3=5/4pi-1/4arctan(7/24)]$
$[theta_4=7/4pi-1/4arctan(7/24)]$
Bisognerebbe calcolare $cos[1/4arctan(7/24)]$ e $sen[1/4arctan(7/24)]$, impresa noiosa ma non impossibile. Infine, $[arccos(−24/25)!=arcsin(7/25)]$ perchè, pur essendo angoli associati, il primo è compreso tra $[pi/2]$ e $[pi]$ mentre il secondo è compreso tra $[0]$ e $[pi/2]$. Insomma, si deve fare attenzione all'insieme di arrivo delle funzioni circolari inverse. In ogni modo, avresti anche potuto risolvere $[z^2=+-(1+2i)/(-3+i)]$, probabilmente i calcoli si sarebbero semplificati.
$[theta_1=1/4pi-1/4arctan(7/24)]$
$[theta_2=3/4pi-1/4arctan(7/24)]$
$[theta_3=5/4pi-1/4arctan(7/24)]$
$[theta_4=7/4pi-1/4arctan(7/24)]$
Bisognerebbe calcolare $cos[1/4arctan(7/24)]$ e $sen[1/4arctan(7/24)]$, impresa noiosa ma non impossibile. Infine, $[arccos(−24/25)!=arcsin(7/25)]$ perchè, pur essendo angoli associati, il primo è compreso tra $[pi/2]$ e $[pi]$ mentre il secondo è compreso tra $[0]$ e $[pi/2]$. Insomma, si deve fare attenzione all'insieme di arrivo delle funzioni circolari inverse. In ogni modo, avresti anche potuto risolvere $[z^2=+-(1+2i)/(-3+i)]$, probabilmente i calcoli si sarebbero semplificati.
Ottimo! Non mi ricordavo questa formula!
Quindi, detto $z=x+iy$, uso $ θ= arctan (y/x)$ per $x > 0 $ e $ θ= arctan (y/x) +pi$ per $x < 0$.
Ok grazie mille!!
Quindi, detto $z=x+iy$, uso $ θ= arctan (y/x)$ per $x > 0 $ e $ θ= arctan (y/x) +pi$ per $x < 0$.
Ok grazie mille!!
Ok, in questo caso $[-1/2pi<=theta<+3/2pi]$.
Scusa speculor!Vedo ora il resto della risposta...
Ma in questo modo non avrei "perso" delle soluzioni?
"speculor":
avresti anche potuto risolvere $z^2=±(1+2i)/(−3+i)$, probabilmente i calcoli si sarebbero semplificati.
Ma in questo modo non avrei "perso" delle soluzioni?
Non direi. Hai due equazioni di secondo grado.
Grazie mille speculor! Adesso provo a risolverlo in tutti e due i modi! Nel caso avessi delle incertezze, tornerò a tediarvi
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