Equazione goniometrica, un aiuto
Ciao 
cercavo un aiuto riguardo un dubbio sul risolvere $acosx=bcosy$, mi verrebbe da dire che questo è valido se e solo se x=y e in particolare quindi anche a=b.
Non so se sia corretto, e se lo fosse vorrei trovarne una giustificazione teorica e non solo intuitiva.
Grazie mille
cercavo un aiuto riguardo un dubbio sul risolvere $acosx=bcosy$, mi verrebbe da dire che questo è valido se e solo se x=y e in particolare quindi anche a=b.
Non so se sia corretto, e se lo fosse vorrei trovarne una giustificazione teorica e non solo intuitiva.
Grazie mille
Risposte
No, non lo è.
Ciao moenia,
Benvenuto/a sul forum!
Per renderti conto che quanto hai scritto è falso, prova a pensare al caso particolare $b = 0 $: in tal caso $y$ nel $cos y $ può fare ciò che vuole, ma l'equazione diventa la seguente:
$a cosx = 0 $
Quest'ultima è senz'altro soddisfatta per $a = 0 $ (e quindi si rientrerebbe nel caso particolare $a = b = 0 $), ma anche, per qualsiasi valore di $a$, da tutti i valori di $x$ che annullano il coseno, cioè per $x_k = (2k + 1)\pi/2 $, $ k \in \ZZ $
Benvenuto/a sul forum!
"moenia":
dubbio sul risolvere $a cosx = b cosy $, mi verrebbe da dire che questo è valido se e solo se x=y e in particolare quindi anche a=b.
Per renderti conto che quanto hai scritto è falso, prova a pensare al caso particolare $b = 0 $: in tal caso $y$ nel $cos y $ può fare ciò che vuole, ma l'equazione diventa la seguente:
$a cosx = 0 $
Quest'ultima è senz'altro soddisfatta per $a = 0 $ (e quindi si rientrerebbe nel caso particolare $a = b = 0 $), ma anche, per qualsiasi valore di $a$, da tutti i valori di $x$ che annullano il coseno, cioè per $x_k = (2k + 1)\pi/2 $, $ k \in \ZZ $
Sì hai ragione e mi scuso. In realtà non ho scritto correttamente quello che avevo in mente. Volevo in realtà escludere il caso a=b=0, ponendo questa limitazione mi pare che l'unico modo sia avere x=y.
Ma qual è il problema?
Da dove viene fuori questa equazione?
Chi delle quattro variabili è l'incognita?
Senza specificare questo, è del tutto inutile discutere.
Da dove viene fuori questa equazione?
Chi delle quattro variabili è l'incognita?
Senza specificare questo, è del tutto inutile discutere.
Ciao
In un esercizio di fisica sono giunto a trovarmi di fronte a una equazione del genere dove ho due costanti incognite a e b e devo dimostrare che sono uguali, svolgendo i conti si giunge a quella equazione dove gli argomenti dei coseni sono due incognite. Quello che mi interesserebbe concludere è che dati a,b costanti diverse da zero, l'unico modo per rendere vera $acosx=bcosy$ è che x=y cosicché a=b.
In un certo senso mi sembra che ammettendo che x=y allora esistono a e b diversi da zero che rendono vera $acosx-bcosx=0$. Cioè sarebbe come dire che sono linearmente dipendenti.
Altresì quando considero un $x!=y$ invece $acosx-bcosy=0$ se e solo se a=b=0, insomma cosx e cosy sono linearmente indipendenti.
Però non so se possa valere come idea dato che sono funzioni e non vettori.
In un esercizio di fisica sono giunto a trovarmi di fronte a una equazione del genere dove ho due costanti incognite a e b e devo dimostrare che sono uguali, svolgendo i conti si giunge a quella equazione dove gli argomenti dei coseni sono due incognite. Quello che mi interesserebbe concludere è che dati a,b costanti diverse da zero, l'unico modo per rendere vera $acosx=bcosy$ è che x=y cosicché a=b.
In un certo senso mi sembra che ammettendo che x=y allora esistono a e b diversi da zero che rendono vera $acosx-bcosx=0$. Cioè sarebbe come dire che sono linearmente dipendenti.
Altresì quando considero un $x!=y$ invece $acosx-bcosy=0$ se e solo se a=b=0, insomma cosx e cosy sono linearmente indipendenti.
Però non so se possa valere come idea dato che sono funzioni e non vettori.
Cioè hai quattro incognite?
Supponendo che $a,b > 0$, l'equazione ha soluzione non appena $-b/a <= cos x <= b/a$ e le soluzioni sono tutte del tipo $y= +- arccos (a/b cos x) + 2k pi$ con $k in ZZ$.
Quindi devi specificare meglio quale è il contesto, perché è chiaro che molte di queste soluzioni potrebbero non avere significato fisico e, quindi non essere accettabili, oppure la condizione $-b/a <= cos x <= b/a$ potrebbe non essere soddisfatta... Insomma, la Fisica impone restrizioni che il problema puramente algebrico non ha.
Supponendo che $a,b > 0$, l'equazione ha soluzione non appena $-b/a <= cos x <= b/a$ e le soluzioni sono tutte del tipo $y= +- arccos (a/b cos x) + 2k pi$ con $k in ZZ$.
Quindi devi specificare meglio quale è il contesto, perché è chiaro che molte di queste soluzioni potrebbero non avere significato fisico e, quindi non essere accettabili, oppure la condizione $-b/a <= cos x <= b/a$ potrebbe non essere soddisfatta... Insomma, la Fisica impone restrizioni che il problema puramente algebrico non ha.
Quello che dici ovviamente è corretto ma ho un po' pasticciato nello spiegarmi. Ti prego di scusarmi.
Volevo generalizzare il discorso ma l'ho reso incomprensibile e sbagliato.
Quello cui si giunge è che $acos(x)=bcos(x+k)$ con k una costante nota es. k=3. E prima avevo chiamato y=x+3. In particolare la fisica richiede (un esercizio su onde) che per ogni x valga l'uguaglianza e s devono trarre conclusioni su a e b.
Se fosse $acos(x)=bcos(x)$ ciò è vero solo se a=b, per questo avevo fatto il discorso
Ora quello che non riesco a concludere è come rendere valida $acos(x)=bcos(x+k)$ per ogni x e mi chiedo se valga se e solo se a=b.
Poi mi erano sorti altri dubbi e mi ero detto, ma se avessi non x e x+k ma x e y (più generale) come argomenti e l'equazione dovesse essere vera per tutti gli x e y cosa accadrebbe? Però ho creato solo confusione.
Volevo generalizzare il discorso ma l'ho reso incomprensibile e sbagliato.
Quello cui si giunge è che $acos(x)=bcos(x+k)$ con k una costante nota es. k=3. E prima avevo chiamato y=x+3. In particolare la fisica richiede (un esercizio su onde) che per ogni x valga l'uguaglianza e s devono trarre conclusioni su a e b.
Se fosse $acos(x)=bcos(x)$ ciò è vero solo se a=b, per questo avevo fatto il discorso
Ora quello che non riesco a concludere è come rendere valida $acos(x)=bcos(x+k)$ per ogni x e mi chiedo se valga se e solo se a=b.
Poi mi erano sorti altri dubbi e mi ero detto, ma se avessi non x e x+k ma x e y (più generale) come argomenti e l'equazione dovesse essere vera per tutti gli x e y cosa accadrebbe? Però ho creato solo confusione.
Non devi scusarti con me e quello che hai fatto non è "un po' pasticciato": hai totalmente travisato il problema, credendo di guadagnare maggiore generalità.
Allora non è un'equazione goniometrica.
Il problema ti chiede di stabilire per quali $a,b$ vale l'identità $a cos x = b cos (x+k)$, i.e. vale l'uguaglianza per ogni possibile valore di $x in RR$.
Per fatti ovvi di goniometria elementare, se $k$ non è un multiplo intero di $pi$, l'identità vale solo se $a=0=b$; se $k$ è un multiplo pari di $pi$, allora l'identità vale solo se $a=b$; se $k$ è un multiplo dispari di $pi$, l'identità vale solo se $a=-b$.
Allora non è un'equazione goniometrica.
Il problema ti chiede di stabilire per quali $a,b$ vale l'identità $a cos x = b cos (x+k)$, i.e. vale l'uguaglianza per ogni possibile valore di $x in RR$.
Per fatti ovvi di goniometria elementare, se $k$ non è un multiplo intero di $pi$, l'identità vale solo se $a=0=b$; se $k$ è un multiplo pari di $pi$, allora l'identità vale solo se $a=b$; se $k$ è un multiplo dispari di $pi$, l'identità vale solo se $a=-b$.
E' un errore grave, hai ragione non posso dire nulla.
Posso chiederti un'ultima cosa perfavore?
Vorrei chiederti nel caso appunto k=0, ad esempio ossia ho acosx=bcosx rientro nel caso in cui l'identità vale solo se a=b, ovviamente.
Però come posso giustificarlo? Lo vedo solo intuitivamente.
Ti ringrazio molto.
Posso chiederti un'ultima cosa perfavore?
Vorrei chiederti nel caso appunto k=0, ad esempio ossia ho acosx=bcosx rientro nel caso in cui l'identità vale solo se a=b, ovviamente.
Però come posso giustificarlo? Lo vedo solo intuitivamente.
Ti ringrazio molto.
Se due cosinusoidi coincidono, come devono essere le loro ampiezze?
Identiche. Però mi chiedevo come mostrarlo in modo più formaleperché mi pareva di saperlo solo giustificare a parole.
Ma dai... Semplifica 'sti coseni!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo