Equazione Goniometrica "particolare"
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto nella seguente equazione goniometrica, che si può scrivere in uno dei due modi:
$A' sin k_f omega t - B' cos k_f omega t = 2 cos(omega t - phi_i)$
oppure:
$C' sin(k_f omega t - gamma) = 2 cos(omega t - phi_i)$
in cui:
$t$ è la variabile
$omega$ è una costante positiva.
$k_f$ è una costante positiva.
$A'$ e $B'$ sono costanti, appartengono ad $RR$ e sono diverse da zero.
$C'$ invece è una costante positiva.
Dovrei risolverla in $t$ o $omega t$ ma purtroppo non riesco a ricondurla a nessun caso elementare di risoluzione. Ho cercato anche in internet ma non ho trovato nulla.
Potete darmi una mano?
Grazie 1000
mi sono imbattuto nella seguente equazione goniometrica, che si può scrivere in uno dei due modi:
$A' sin k_f omega t - B' cos k_f omega t = 2 cos(omega t - phi_i)$
oppure:
$C' sin(k_f omega t - gamma) = 2 cos(omega t - phi_i)$
in cui:
$t$ è la variabile
$omega$ è una costante positiva.
$k_f$ è una costante positiva.
$A'$ e $B'$ sono costanti, appartengono ad $RR$ e sono diverse da zero.
$C'$ invece è una costante positiva.
Dovrei risolverla in $t$ o $omega t$ ma purtroppo non riesco a ricondurla a nessun caso elementare di risoluzione. Ho cercato anche in internet ma non ho trovato nulla.
Potete darmi una mano?
Grazie 1000
Risposte
Da dove viene fuori il problema?
Sicuro ti serva risolvere esplicitamente l'equazione?
Non ti basta sapere che la soluzione esiste e stimarla in qualche modo?
Sicuro ti serva risolvere esplicitamente l'equazione?
Non ti basta sapere che la soluzione esiste e stimarla in qualche modo?
Ciao,
il problema viene fuori da un testo, il quale portando avanti un procedimento si imbatte in questa equazione.Dice che esistono due soluzioni reali ma non risolve l'equazione e va avanti col discorso portando a termine il procedimento e graficando i risultati. Ovviamente non riuscendo io risolvere l'equazione, non riesco ne ad utilizzare il procedimento, ne a validare i grafici.
Aggiungo che l'equazione mostrata è corretta perché ho rifatto tutti i passaggi del testo e mi trovo perfettamente.
Mi potrebbe anche bastare solo stimare le soluzioni, ma comunque mi piacerebbe anche sapere se è possibile risolverla analiticamente.
Grazie
P.S.: Questo ulteriore poscritto vuole chiarire da dove viene fuori il problema.
Ho una equazione differenziale di secondo grado non omogenea a coefficienti costanti:
$ y''+omega _f^2*y=I_M*omega _f^2*sin(omega t-varphi _i) $
La soluzione è:
$ y=Acos(omega _ft)+Bsin(omega _ft)+c_1sin(omega t-varphi _i) $
nel testo si pone $ kappa _f=omega _f/omega $ e dunque $ c_1=I_M kappa _f^2/(kappa _f^2-1) $
e $ A $ e $ B $ sono costanti che si ricavano imponendo le condizioni iniziali.
Lo scopo del procedimento è quello di calcolare il massimo $ Delta y $ definito come:
$ Delta y = y_(max)-y_(min) $
Per fare ciò il testo suggerisce di derivare $ y $ da cui con l'opportuna definizione delle costanti $ A' $ e $ B' $ si ottiene l'equazione trigonometrica del primo post.
La risoluzione dell'equazione trigonometrica del primo post mi permette di ricavere gli istanti $ t $ nei quali $ y $ è massima e minima e pertanto giungere al calcolo di $ y_(max) $ ed $ y_(min) $.
il problema viene fuori da un testo, il quale portando avanti un procedimento si imbatte in questa equazione.Dice che esistono due soluzioni reali ma non risolve l'equazione e va avanti col discorso portando a termine il procedimento e graficando i risultati. Ovviamente non riuscendo io risolvere l'equazione, non riesco ne ad utilizzare il procedimento, ne a validare i grafici.
Aggiungo che l'equazione mostrata è corretta perché ho rifatto tutti i passaggi del testo e mi trovo perfettamente.
Mi potrebbe anche bastare solo stimare le soluzioni, ma comunque mi piacerebbe anche sapere se è possibile risolverla analiticamente.
Grazie
P.S.: Questo ulteriore poscritto vuole chiarire da dove viene fuori il problema.
Ho una equazione differenziale di secondo grado non omogenea a coefficienti costanti:
$ y''+omega _f^2*y=I_M*omega _f^2*sin(omega t-varphi _i) $
La soluzione è:
$ y=Acos(omega _ft)+Bsin(omega _ft)+c_1sin(omega t-varphi _i) $
nel testo si pone $ kappa _f=omega _f/omega $ e dunque $ c_1=I_M kappa _f^2/(kappa _f^2-1) $
e $ A $ e $ B $ sono costanti che si ricavano imponendo le condizioni iniziali.
Lo scopo del procedimento è quello di calcolare il massimo $ Delta y $ definito come:
$ Delta y = y_(max)-y_(min) $
Per fare ciò il testo suggerisce di derivare $ y $ da cui con l'opportuna definizione delle costanti $ A' $ e $ B' $ si ottiene l'equazione trigonometrica del primo post.
La risoluzione dell'equazione trigonometrica del primo post mi permette di ricavere gli istanti $ t $ nei quali $ y $ è massima e minima e pertanto giungere al calcolo di $ y_(max) $ ed $ y_(min) $.
Ciao a tutti,
ho scritto anche all'autore del testo per avere il metodo/procedimento di risoluzione dell'equazione, ma ad oggi non ho avuto risposta. Volendo ottenere invece soluzioni approssimate come si potrebbe procedere?
Grazie mille
ho scritto anche all'autore del testo per avere il metodo/procedimento di risoluzione dell'equazione, ma ad oggi non ho avuto risposta. Volendo ottenere invece soluzioni approssimate come si potrebbe procedere?
Grazie mille
Le condizioni iniziali sono particolari (tipo posizione iniziale nulla o velocità iniziale nulla) o generiche? Il rapporto tra $\omega_f$ e $\omega$ è intero?
Ciao Masaki,
il rapporto tra $ omega _f $ ed $ omega $ può essere qualsiasi; ma le condizioni iniziali sfruttano una condizione di periodicità della forma d'onda $ y $ ,in particolare si hanno le seguenti relazioni:
$ w=(2pi)/T $
$ y $ è periodica di periodo $ T_i $ e sussiste la seguente relazione: $ T_i=T/6 $
inoltre $ y $ è legata ad un'altra funzione $ u $ tale che $ u=U_S - Ldy/dt $ dove anche per $ u $ sussiste la relazione: $ u(0)=u(T_i) $
Le costanti $ A $ e $ B $ si ricavano imponendo $ y(0)=y(T_i) $ e $ u(0)=u(T_i) $;
$ U_S $ ed $ L $ sono due costanti positive.
Fammi sapere se è tutto chiaro.
Grazie1000
il rapporto tra $ omega _f $ ed $ omega $ può essere qualsiasi; ma le condizioni iniziali sfruttano una condizione di periodicità della forma d'onda $ y $ ,in particolare si hanno le seguenti relazioni:
$ w=(2pi)/T $
$ y $ è periodica di periodo $ T_i $ e sussiste la seguente relazione: $ T_i=T/6 $
inoltre $ y $ è legata ad un'altra funzione $ u $ tale che $ u=U_S - Ldy/dt $ dove anche per $ u $ sussiste la relazione: $ u(0)=u(T_i) $
Le costanti $ A $ e $ B $ si ricavano imponendo $ y(0)=y(T_i) $ e $ u(0)=u(T_i) $;
$ U_S $ ed $ L $ sono due costanti positive.
Fammi sapere se è tutto chiaro.
Grazie1000
Scusami sto facendo parecchia fatica a capire cosa stai scrivendo, puoi postare il testo dell'esercizio per favore?
Spero siano chiare le info che ti ho inviato in pvt.
Grazie ancora
Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo