Equazione esponenziale complessa

[dennyroses]

Ciao a tutti, vi propongo il seguente esercizio.

"Risolvere nel piano complesso l'equazione $ e^(z+1)*e^2z=-1+i $ , indicando $ Rez $ , $ Imz $ , $ ||z|| $ .
Stabilire se esistono soluzioni tali che $ ||z|| $ $ > $ $ 4 $ "

Io ho così risolto.
$ e^(z+1)*e^(2z)=-1+i=e^(3z+1) $
$ 3z+1=Log(-1+i)=ln(||-1+i||)+iarg(-1+i)+2kPi i $
$ ||-1+i||=sqrt(2) $
$ arg(-1+i)=3/4Pi $

allora

$ z=1/6ln(2)-1/3 +i(Pi /4+2/3kPi ) $

quindi

$ Rez= 1/6ln(2)-1/3 $
$ Imz= Pi /4+2/3kPi $
$ ||z||=sqrt((1/6ln(2)-1/3)^2+(Pi /4+2/3kPi )^2) $

Per rispondere alla domanda pongo $ ||z||=sqrt((1/6ln(2)-1/3)^2+(Pi /4+2/3kPi )^2) $ $ > 4 $

Quindi ora dovrei determinare se esistono k in grado di soddisfare la relazione? A mio avviso vengono fuori dei calcoli alquanto assurdi...voi come fareste?

[21zuclo]

ma $e^z$ io sapevo che era l'esponenziale complesso!

Mi ricordo che il mio prof di Analisi ci aveva detto
definiamo per $z=x+iy \in CC$ l'esponenziale complesso nel modo seguente $e^z=e^x(\cos y+i \sin y)$

questo a me sembra sbagliato

"pier5302748":
$ 3z+1=Log(-1+i)=ln(||-1+i||)+iarg(-1+i)+2kPi i $
?

non ho mai visto in Analisi 1, con i numeri complessi il logaritmo!

[Zero87]

"21zuclo":[quote="pier5302748"]
$ 3z+1=Log(-1+i)=ln(||-1+i||)+iarg(-1+i)+2kPi i $
?

non ho mai visto in Analisi 1, con i numeri complessi il logaritmo![/quote]
Lo vedrai in analisi complessa (da me "geometria III" che qualche anno prima era "funzioni di una variabile complessa"... ma chi li dà i nomi ai corsi?!?).

pier5302748 ha applicato correttamente la formula. Il logaritmo complesso di un numero ha infiniti valori e la formula per estrarlo è proprio
$Lg(z)= log(|z|)+i (arg(z)+2k\pi)$ con $z\in \CC \\ {0}$.
a parte la notazione che mi hanno abituato ad usare il modulo come "|" invece che come "||" ma non cambia nulla.