Equazione esponenziale!

[abaco90]

Ciao a tutti,

ho questa equazione che deriva da un'integrazione, ma non riesco a risolverla.

$ |y| = e^(2x - ln|x| + c) $

Qualcuno può aiutarmi? Grazie

[@melia]

Esattamente che cosa ci vuoi fare?

[abaco90]

Trovare la y.

Sto risolvendo un'equazione differenziale

[@melia]

$ y = +-e^(2x - ln|x| + c) $ o, se proprio vuoi, $ y = ke^(2x - ln|x|) $ con $k in RR$, cioè con $k= +- e^c$

[21zuclo]

visto che ha detto che sta risolvendo un'equazione differenziale..

non potrebbe essere così $ y'(x)=k\exp(2x-ln|x|) $ ?

almeno penso io..

[abaco90]

L'equazione differenziale è $ y' = y (2 - 1/x) $ e il testo da come soluzione $ y = k (x-2)/(x-1) $.

Ma non capisco come ci è arrivato.

[pilloeffe]

Ciao Abaco90,

è veramente semplice! Basta che scrivi $y' = \frac{dy}{dx} $ e si vede subito che è a variabili separabili: se dividi per $y$ e moltiplichi per $dx$, trovi

$ \frac{dy}{y} = (2 - \frac{1}{x} ) dx $

la cui integrazione è praticamente immediata...

[abaco90]

Ciao pilloeffe, grazie della risposta.

Io l'ho risolta come ho scritto in precedenza e arrivo a questo punto $ |y| = e^(2x - ln|x| + c) $.
Il problema è che ora non riesco più ad andare avanti e non so come ottenere le soluzioni del libro.

[pilloeffe]

Ciao abaco90,

Sicuro? Magari c'è un errore nel libro di testo, non sarebbe la prima volta che ne vedo... La funzione $ y = k frac{x - 2}{x - 1} $ non è soluzione dell'equazione differenziale a variabili separabili che hai proposto. Per convincertene facilmente, basta che derivi la funzione $ y = k frac{x - 2}{x - 1} $ e ti accorgi subito che non è uguale a $ y (2 - frac{1}{x}) $. Eventualmente puoi scrivere la soluzione $ |y| = e^(2x - ln|x| + c) $ in modo diverso utilizzando l'identità $ 2x = ln e^{2x} $, ponendo $ c:= ln k $ e facendo uso di note proprietà dei logaritmi...