Equazione esponenziale

[danielev.91]

ragazzi mi aiutate a risolvere questa equazione?
x^n - x^m - a = 0
provando con derive mi da' solo un valore ma mi servono entrambi.
numericamente è
x^(1.42857) - x^(1.71429) = 0.021307
con x1=0,918 circa e x2=0,125 circa
ho provato a considerare "a" nullo ma così arrivo a x=1
credo bisogna passare per i logaritmi, mi date una mano?
grazie!

[Nietzsche610]

Tento un approccio un po' inusuale per il caso in cui $n>0, m>0$, ma vediamo dove ci porta
Dividiamo ambo i membri dell'equazione per $n!$:

$x^n/(n!)=x^m/(n!)+a/(n!)$.

Ora applichiamo la somma con $n=0->+\infty$, ottenendo:

$\sum_{n=0}^(+\infty)x^n/(n!)=\sum_{n=0}^(+\infty)x^m/(n!)+\sum_{n=0}^(+\infty)a/(n!)$.

Ma è oramai ben noto che: $\sum_{n=0}^(+\infty)x^n/(n!)=e^x$, quindi ripetendo lo stesso ragionamento per $m$, si ha:

$e^x=x^m\sum_{n=0)^(+\infty)1/(n!)+a\sum_{n=0)^(+\infty)1/(n!)$

$e^x/(m!)=x^m/(m!)\sum_{n=0)^(+\infty)1/(n!)+a/(m!)\sum_{n=0)^(+\infty)1/(n!)$

$\sum_{m=0}^(+\infty)e^x/(m!)=\sum_{m=0}^(+\infty)x^m/(m!)\sum_{n=0)^(+\infty)1/(n!)+\sum_{m=0}^(+\infty)a/(m!)\sum_{n=0)^(+\infty)1/(n!)$

$e^x(\sum_{m=0}^(+\infty)1/(m!))=e^x(\sum_{n=0}^(+\infty)1/(n!))+a(\sum_{m=0}^(+\infty)\sum_{n=0}^(+\infty)1/[m!n!]),$

da cui, in definitiva:

$e^x=[a\sum_{m=0}^(+\infty)\sum_{m=0}^(+\infty)1/[m!n!]]/[\sum_{m=0}^(+\infty)1/(m!)-\sum_{n=0}^(+\infty)1/(n!)]->x=ln([a\sum_{m=0}^(+\infty)\sum_{m=0}^(+\infty)1/[m!n!]]/[\sum_{m=0}^(+\infty)1/(m!)-\sum_{n=0}^(+\infty)1/(n!)]).$

Secondo me se $n$ e $m$ sono entrambi negativi puoi moltiplicare ambo i membri per $x^-(n+m)$ e ripetere il ragionamento precedente, in quanto $-(n+m)>0$.
Se uno solo dei due è negativo, ad esempio $n$, puoi moltiplicare per $x^-n$ e ritornare al caso di prima.
Spero di esserti stato d'aiuto!

[danielev.91]

ti ringrazio tantissimo! ma sinceramente nn so cosa tu abbia fatto!
è un'quazione derivante da una semplificazione ingegneristica. in qualità di ingegnere, se non esiste un metodo diretto, dovrei usare un metodo ad approssimazioni (tipo il metodo degli zeri, o di bisezione, o di newton), se ne può usare qualcuno? credevo si passasse semplicemente per i logaritmi