Equazione differneziale del secondo ordine
Ho trovato una frase per me criptica in un esempio di applicazione economica delle suddette equazioni. L'equazione in questione è:
$K''+\beta*K'+\alpha*\beta*K=\alpha*\beta*K^*$
dove K'' è la derivata seconda etc e $K^*$ è una funzione di t comunque considerata in tal caso costante.
L'equazione caratteristica è:
$\lambda^2+\beta*\lambda+\alpha*\beta=0$
l'osservazione del testo che non comprendo è che, essendo la successione dei segni dei coefficienti +++, il movimento sarà stabile (tradotto dall'inglese "the movement will be stable"). Cosa vuol dire che il movimento sarà stabile? A cosa serve lo studio dei segni. Grazie dell'attenzione.
$K''+\beta*K'+\alpha*\beta*K=\alpha*\beta*K^*$
dove K'' è la derivata seconda etc e $K^*$ è una funzione di t comunque considerata in tal caso costante.
L'equazione caratteristica è:
$\lambda^2+\beta*\lambda+\alpha*\beta=0$
l'osservazione del testo che non comprendo è che, essendo la successione dei segni dei coefficienti +++, il movimento sarà stabile (tradotto dall'inglese "the movement will be stable"). Cosa vuol dire che il movimento sarà stabile? A cosa serve lo studio dei segni. Grazie dell'attenzione.
Risposte
Mi sa che fa riferimento al metodo di Cartesio sulla determinazione delle radici di un polinomio di secondo grado...
Se $alpha, beta $ sono entrambi positivi allora i coefficienti dei termini dell'equazione di secondo grado in $ lambda$ sono tutti positivi e la sequenza dei segni è $ +,+,+$.
Se poi il discriminante dell'equazione ($ Delta = beta^2-4 alpha beta $ ) è pure positivo allora le radici sono reali e si può applicare la regola di Cartesio sui segni delle radici : ad ogni permanenza di segni corrisponde una radice negativa , ad ogni variazione una radice positiva.
In questo caso abbiamo due permanenze e quindi le radici dell'equazione caratteristica sono entrambe negative , chiamiamole $lambda_1 , lambda_2 $.
La soluzione dell'equazione differenziale omogena sarà quindi $ y = A e^(lambda_1t ) +Be^(lambda_2t ) $ che per $t rarr +oo $ tende a $0 $ e quindi la soluzione è stabile.
Se invece anche una sola delle due radici fosse stata positiva allora la soluzione $y = ... $ sarebbe " esplosa per $t rarr +oo $ , divergendo verso $ +oo $.
Se poi il discriminante dell'equazione ($ Delta = beta^2-4 alpha beta $ ) è pure positivo allora le radici sono reali e si può applicare la regola di Cartesio sui segni delle radici : ad ogni permanenza di segni corrisponde una radice negativa , ad ogni variazione una radice positiva.
In questo caso abbiamo due permanenze e quindi le radici dell'equazione caratteristica sono entrambe negative , chiamiamole $lambda_1 , lambda_2 $.
La soluzione dell'equazione differenziale omogena sarà quindi $ y = A e^(lambda_1t ) +Be^(lambda_2t ) $ che per $t rarr +oo $ tende a $0 $ e quindi la soluzione è stabile.
Se invece anche una sola delle due radici fosse stata positiva allora la soluzione $y = ... $ sarebbe " esplosa per $t rarr +oo $ , divergendo verso $ +oo $.
grazie infinite, spiegazione impeccabile!!!
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