Equazione differenziele
C'è questo esercizio che non'ho ben capito come bisogna muoversi...
Per la funzione f(t), si scriva un'equazione differenziale lineare del primo ordine di cui risulti soluzione, e se ne deduca l'equazione verificata dalla corrispondente trasformata di laplace
$f(t)=e^[1 /t]$
grazie!
Per la funzione f(t), si scriva un'equazione differenziale lineare del primo ordine di cui risulti soluzione, e se ne deduca l'equazione verificata dalla corrispondente trasformata di laplace
$f(t)=e^[1 /t]$
grazie!
Risposte
Correggetemi se sbaglio.
L'espressione generica di un'equazione differenziale lineare del primo ordine è:
$y'=a(x)y+b(x)$ dove a(x) e b(x) sono due funzioni continue in un dato intervallo.
La soluzione di questa equazione è:
$y=e^A(x) (int e^-A(x) b(x)dx)$ dove A(x) è una primitiva di a(x)
Avremo una soluzione del tipo $y=ce^A(x)$ nel caso in cui l'equazione differenziale sia del tipo $y'=a(x)y$ che è un caso particolare dell'equazione differenziale generale, in quanto in tal caso abbiamo $b(x)=0$, e si dirà omogenea.
Questo è proprio il caso che ci interessa.
Nel nostro caso abbiamo $y=e^-x$ e quindi l'equazione differenziale che stiamo cercando sarà del tipo $y'=a(x)y$ (1).
Per trovare il valore di a(x) eguagliamo il nostro caso particolare alla formulazione generale di y ed avremo:
$e^-x=ce^A(x)$, quindi avrò che $-x=A(x)$ da cui derivando ho:$ a(x)=-1$.
Andando a sostituire questo valore in (1) avremo: $y'=-y$
Per verificare che il risultato è corretto basta svolgere l'equazione differenziale trovata.
Se lo facciamo avremo che:
$y=ce^-x$ e poiché c è una costante posso conferirle un valore arbitrario.
Se pongo $c=1$ otterrò proprio la funzione di partenza e quindi il risultato è corretto.
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio invece non posso aiutarti perché non ho studiato la trasformata di Laplace.
L'espressione generica di un'equazione differenziale lineare del primo ordine è:
$y'=a(x)y+b(x)$ dove a(x) e b(x) sono due funzioni continue in un dato intervallo.
La soluzione di questa equazione è:
$y=e^A(x) (int e^-A(x) b(x)dx)$ dove A(x) è una primitiva di a(x)
Avremo una soluzione del tipo $y=ce^A(x)$ nel caso in cui l'equazione differenziale sia del tipo $y'=a(x)y$ che è un caso particolare dell'equazione differenziale generale, in quanto in tal caso abbiamo $b(x)=0$, e si dirà omogenea.
Questo è proprio il caso che ci interessa.
Nel nostro caso abbiamo $y=e^-x$ e quindi l'equazione differenziale che stiamo cercando sarà del tipo $y'=a(x)y$ (1).
Per trovare il valore di a(x) eguagliamo il nostro caso particolare alla formulazione generale di y ed avremo:
$e^-x=ce^A(x)$, quindi avrò che $-x=A(x)$ da cui derivando ho:$ a(x)=-1$.
Andando a sostituire questo valore in (1) avremo: $y'=-y$
Per verificare che il risultato è corretto basta svolgere l'equazione differenziale trovata.
Se lo facciamo avremo che:
$y=ce^-x$ e poiché c è una costante posso conferirle un valore arbitrario.
Se pongo $c=1$ otterrò proprio la funzione di partenza e quindi il risultato è corretto.
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio invece non posso aiutarti perché non ho studiato la trasformata di Laplace.
La soluzione non è corretta, in quanto data per la funzione $e^(-x)$, che non è $e^(1/x)$ (voglio sperare che sia un errore di distrazione).
Quanto alla soluzione corretta basta imporre che $f(t)$ sia soluzione di $f'(t)=a(t)f(t)+b(t)$; sostituendo si ha $-1/(t^2)f(t)=a(t)f(t)+b(t)$ per ogni $t$, e dunque, per l'indipendenza delle funzioni esponenziali, deve essere $a(t)=-1/(t^2)$ e $b(t)=0$.
Quanto alla soluzione corretta basta imporre che $f(t)$ sia soluzione di $f'(t)=a(t)f(t)+b(t)$; sostituendo si ha $-1/(t^2)f(t)=a(t)f(t)+b(t)$ per ogni $t$, e dunque, per l'indipendenza delle funzioni esponenziali, deve essere $a(t)=-1/(t^2)$ e $b(t)=0$.
Chiedo venia!
Non è un errore di distrazione ma ho proprio letto male la traccia, che ho confuso con $1/e^t$
Effettivamente ingrandendo la formula è chiaro, ma così come era scritto, non ho fatto caso alla linea di frazione che era leggermente più su del segno uguale (cosa che mi avrebbe permesso di capire che non avevo letto bene)
Non è un errore di distrazione ma ho proprio letto male la traccia, che ho confuso con $1/e^t$
Effettivamente ingrandendo la formula è chiaro, ma così come era scritto, non ho fatto caso alla linea di frazione che era leggermente più su del segno uguale (cosa che mi avrebbe permesso di capire che non avevo letto bene)
grazie mille, ho capito come andava eseguito l'esercizio....
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