Equazione differenziali a coefficienti non costanti
Allora non riesco a trovare il metodo per risolvere questo tipo di equazioni differenziali mi potreste dare una mano?? Credo che il nome sia equazioni differenziali a coefficienti non costanti!
$y''+ yy'=0$
So che sembra facile ma ho provato con ogni genere di sostituzione ma non riesco ad andare avanti!!!
Chi sa dirmi come si risolovono?
$y''+ yy'=0$
So che sembra facile ma ho provato con ogni genere di sostituzione ma non riesco ad andare avanti!!!
Chi sa dirmi come si risolovono?
Risposte
Io farei:
$y''+yy'=0$
Integro da ambo le parti:
$\int y''dx+\int yy'dx = c_1$
ed ottengo la equazione equivalente:
$y' + 1/2 y^2 = c_1$
Che è a variabili separabili:
$(y')/(c_1-1/2y^2) = 1$
Integro ancora:
$\int (dy)/(c_1-1/2y^2) = x+c_2$
$sqrt(2)/sqrt(c_1)\int (d(y/sqrt(2c_1)))/(1-(y/sqrt(2c_1))^2) = x+c_2$
da cui:
$sqrt(2)/sqrt(c_1) arctanh(y/sqrt(2c_1)) = x+c_2$
ovvero:
$y=sqrt(2c_1)*tanh((x+c_2)*sqrt(c_1/2))$
$y''+yy'=0$
Integro da ambo le parti:
$\int y''dx+\int yy'dx = c_1$
ed ottengo la equazione equivalente:
$y' + 1/2 y^2 = c_1$
Che è a variabili separabili:
$(y')/(c_1-1/2y^2) = 1$
Integro ancora:
$\int (dy)/(c_1-1/2y^2) = x+c_2$
$sqrt(2)/sqrt(c_1)\int (d(y/sqrt(2c_1)))/(1-(y/sqrt(2c_1))^2) = x+c_2$
da cui:
$sqrt(2)/sqrt(c_1) arctanh(y/sqrt(2c_1)) = x+c_2$
ovvero:
$y=sqrt(2c_1)*tanh((x+c_2)*sqrt(c_1/2))$
Una classe di soluzioni si vede "a occhio nudo": è quella delle applicazioni costanti, $y="cost"$.
Un'altra soluzione pure la trovi "a occhio": $y=2/x$; infatti è $y'=-2/x^2$ e $y''=4/x^3$, perciò $y''+y*y'=0$.
Il metodo proposto da Lord K non mi pare consenta di ricavare tale soluzione (che suppongo sia un integrale singolare).
Un'altra soluzione pure la trovi "a occhio": $y=2/x$; infatti è $y'=-2/x^2$ e $y''=4/x^3$, perciò $y''+y*y'=0$.
Il metodo proposto da Lord K non mi pare consenta di ricavare tale soluzione (che suppongo sia un integrale singolare).
Ma quindi non esiste un metodo generale per risolvere equazioni di questo tipo? Cioè anche io avevo pensato di agire cm Lord K ma non sapevo se si poteva fare dato che $y$ è una funzione e non si può integrare cm una variabile dipendente no?? Forse sbaglio??
Si può anche integrare come ha fatto Lord K, però bisogna farlo bene...
A rigore, il passaggio iniziale andrebbe fatto così:
$y''(x)+y(x)*y'(x)=0 \quad => \quad \int \{y''(x)+y(x)*y'(x)\} " d"x="costante" \quad => \quad \int y''(x) " d"x +\inty(x)*y'(x)" d"x ="costante"$
$\quad => \quad y'(x)+1/2y^2(x)="costante"$...*
Insomma, non devi mai perdere di vista il fatto che $y$ è pur sempre una funzione della variabile $x$.
__________
* Per esser più precisi ancora, dovresti scegliere delle condizioni iniziali $(x_0,y_0,y'_0)$ e passare agli integrali definiti:
$\int_(x_0)^x \{y''(t)+y(t)*y'(t)\} " d"t=\int_(x_0)^x 0" d"t =0 \quad => \quad \int_(x_0)^x y''(t) " d"t+ \int_(x_0)^x y(t)*y'(t) " d"t=0$
$\quad => \quad y'(x)-y'_0+1/2y^2(x)-1/2y_0^2=0$
ovviamente poi raggruppi le costanti $-y'_0-1/2y_0^2$ e risolvi "come al solito".
A rigore, il passaggio iniziale andrebbe fatto così:
$y''(x)+y(x)*y'(x)=0 \quad => \quad \int \{y''(x)+y(x)*y'(x)\} " d"x="costante" \quad => \quad \int y''(x) " d"x +\inty(x)*y'(x)" d"x ="costante"$
$\quad => \quad y'(x)+1/2y^2(x)="costante"$...*
Insomma, non devi mai perdere di vista il fatto che $y$ è pur sempre una funzione della variabile $x$.
__________
* Per esser più precisi ancora, dovresti scegliere delle condizioni iniziali $(x_0,y_0,y'_0)$ e passare agli integrali definiti:
$\int_(x_0)^x \{y''(t)+y(t)*y'(t)\} " d"t=\int_(x_0)^x 0" d"t =0 \quad => \quad \int_(x_0)^x y''(t) " d"t+ \int_(x_0)^x y(t)*y'(t) " d"t=0$
$\quad => \quad y'(x)-y'_0+1/2y^2(x)-1/2y_0^2=0$
ovviamente poi raggruppi le costanti $-y'_0-1/2y_0^2$ e risolvi "come al solito".
Ma come si fa ad integrare la $y(x)$ con $1/2y(x)^2$?? Cioè noi non sappiamo che funzione sia $y$..per quanto ne sappiamo può anche essere $y=logx$ che non si integra a quel modo..
Vero ma qui abbiamo:
$\int y(x)y'(x)dx = \int y(x) dy(x) = \int y dy = 1/2 y^2 +c$
nel caso che dici tu $y=logx$
$\int (logx)/x dx = \int logx d(logx) = 1/2 (logx)^2 + c
vedi che è lo stesso???
$\int y(x)y'(x)dx = \int y(x) dy(x) = \int y dy = 1/2 y^2 +c$
nel caso che dici tu $y=logx$
$\int (logx)/x dx = \int logx d(logx) = 1/2 (logx)^2 + c
vedi che è lo stesso???
"Lord K":
Vero ma qui abbiamo:
$\int y(x)y'(x)dx = \int y(x) dy(x) = \int y dy = 1/2 y^2 +c$
Infatti questo è un altro modo di scrivere l'integrale "della tabella" (come amava dire il mio prof. di Analisi):
$\int f(x)*f'(x)" d"x=1/2f^2(x)+"costante"$
che poi è un caso particolare di:
$\int f^n(x)*f'(x)" d"x=1/(n+1)f^(n+1)(x)+"costante"$.
Una cosa che mi ha sempre colpito è che nell'equazioni differenziali come questa non c'è un modo unico per trovare tutte le soluzioni (esempio $y=2/x$) da te proposto...
Chi ci dice quindi che in equazioni semplici come:
$y=y'$
l'unica soluzione sia quella $y=e^x+c$????
Chi ci dice quindi che in equazioni semplici come:
$y=y'$
l'unica soluzione sia quella $y=e^x+c$????
L’integrale generale è quello di Lord K:
$y=sqrt(2c_1)tanh((x+c2)sqrt((c_1)/2))$
se poni $y=x/2$, le cose sono troppo complicate:
$y=C_1+sqrt(pi) * C_2* erf[x/2]$.
Pretendete troppo: le equazioni differenziali, ad eccezione dei casi banali, non si possono risolvere in forma chiusa, ma solo numericamente.
$y=sqrt(2c_1)tanh((x+c2)sqrt((c_1)/2))$
se poni $y=x/2$, le cose sono troppo complicate:
$y=C_1+sqrt(pi) * C_2* erf[x/2]$.
Pretendete troppo: le equazioni differenziali, ad eccezione dei casi banali, non si possono risolvere in forma chiusa, ma solo numericamente.
"Lord K":
Chi ci dice quindi che in equazioni semplici come:
$y=y'$
l'unica soluzione sia quella $y=e^x+c$????
Il fatto che per ogni problema di Cauchy esiste una funzione di quel tipo che soddisfa e la soluzione del problema di Cauchy è unica, direi.
E' quello che usualmente ricordo!
Come mai allora nel metodo che ho usato prima, trovo sia la soluzione con la tangente iperbolica sia quella $y=2/x$ ???
Immagino con tutta probabilità che il metodo che ho usato sia stato molto spartano e poco organico... meglio dapprima verificare le proprietà relative all'esistenza ed all'unicità e poi proseguire con il calcolo mero e semplice. Qui sono stato troppo veloce nella soluzione e poco sagace nell'osservazione
Come mai allora nel metodo che ho usato prima, trovo sia la soluzione con la tangente iperbolica sia quella $y=2/x$ ???
Immagino con tutta probabilità che il metodo che ho usato sia stato molto spartano e poco organico... meglio dapprima verificare le proprietà relative all'esistenza ed all'unicità e poi proseguire con il calcolo mero e semplice. Qui sono stato troppo veloce nella soluzione e poco sagace nell'osservazione
Da osservarsi che:
$y''=-y'y = f(x,y,y')$
ovvero abbiamo che $f$ non è lipschitziana...
$y''=-y'y = f(x,y,y')$
ovvero abbiamo che $f$ non è lipschitziana...
"Lord K":
Vero ma qui abbiamo:
$\int y(x)y'(x)dx = \int y(x) dy(x) = \int y dy = 1/2 y^2 +c$
nel caso che dici tu $y=logx$
$\int (logx)/x dx = \int logx d(logx) = 1/2 (logx)^2 + c
vedi che è lo stesso???
uuu GRANDE!! Hai proprio ragione
Grazie per le dritte!!! Ora credo di aver capito!
Scusate se posto quando ormai le cose sembrano concluse, però vorrei una vostra opinione: l'equazione iniziale è
$y''+yy'=0$
Se ponessi
$y'=z(y)$
in modo che $y''=z'y'=z'z$
l'equazione iniziale diventerebbe
$z'z+yz=0$
Quindi
$z(z'+y)=0$
La prima soluzione viene per $z=0$, quindi $y'=0$ per cui $y=costante$: questa è la prima soluzione, che balzava subito agli occhi.
Invece
$z'+y=0$, allora $z'=-y$, per cui
$z=-y^2/2+k$
Ora so che $y'=z$, per cui
$y'=-y^2/2+k$
A seconda se $k$ sia positivo, nullo o negativo si individuano delle soluzioni: per esempio, se $k=0$ allora una soluzione generica è
$y=2/(x+c)$
Se $k<0$ si avrebbe una soluzione sotto forma di tangente e via discorrendo.
Che ne pensate?
Ciao
$y''+yy'=0$
Se ponessi
$y'=z(y)$
in modo che $y''=z'y'=z'z$
l'equazione iniziale diventerebbe
$z'z+yz=0$
Quindi
$z(z'+y)=0$
La prima soluzione viene per $z=0$, quindi $y'=0$ per cui $y=costante$: questa è la prima soluzione, che balzava subito agli occhi.
Invece
$z'+y=0$, allora $z'=-y$, per cui
$z=-y^2/2+k$
Ora so che $y'=z$, per cui
$y'=-y^2/2+k$
A seconda se $k$ sia positivo, nullo o negativo si individuano delle soluzioni: per esempio, se $k=0$ allora una soluzione generica è
$y=2/(x+c)$
Se $k<0$ si avrebbe una soluzione sotto forma di tangente e via discorrendo.
Che ne pensate?
Ciao
Ehm non rispondo alla tua domanda perchè sono quello che ha posto il problema..no sono qui per proporre un equazione sulla falsa riga di quella precendente.. allora
$y''+3y^(2)y'=0$ ecco arrivo a questo punto nella risoluzione $\int y''dy +\int 3y^(2)ydy$ poi dopo un pò di calcoli si arriva a
$y'+y^3=c_1$ che sembrerebbe a variabili separabili ma proseguendo arrivo a questo
$\int (y'-c_1)/y^3dy$ che non so come integrare perchè spezzando l' integrale rimane $\int 1/y^3 dy$ che non so come fare non essendoci la derivata!!!
$y''+3y^(2)y'=0$ ecco arrivo a questo punto nella risoluzione $\int y''dy +\int 3y^(2)ydy$ poi dopo un pò di calcoli si arriva a
$y'+y^3=c_1$ che sembrerebbe a variabili separabili ma proseguendo arrivo a questo
$\int (y'-c_1)/y^3dy$ che non so come integrare perchè spezzando l' integrale rimane $\int 1/y^3 dy$ che non so come fare non essendoci la derivata!!!
@SenzaCera:
mi sembra che potrebbe valer la pena dare un'occhiata ai "fondamentali" sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
mi sembra che potrebbe valer la pena dare un'occhiata ai "fondamentali" sulle equazioni differenziali a variabili separabili.
..si bè che sciocco.!! scusate non mi ero reso conto di aver detto una fesseria..non può essere a variabili separabili dato che è di secondo ordine l' equazione...!!!Ma quindi il procedimento da me usato fino ad ora è sbagliato? Perchè non riesco a capire cm andare avanti in questo tipo di equazioni... Grazie p0er la disponibilità!!
"SenzaCera":
:shock: ..si bè che sciocco.!! scusate non mi ero reso conto di aver detto una fesseria..non può essere a variabili separabili dato che è di secondo ordine l' equazione...!!!
Ma quindi il procedimento da me usato fino ad ora è sbagliato? Perchè non riesco a capire cm andare avanti in questo tipo di equazioni... Grazie p0er la disponibilità!!
Il mio suggerimento di dare un'occhiata ai "fondamentali" diventa molto più pressante, dopo aver letto questa tua risposta.
L'equazione è ovviamente a variabili separabili, visto che manca una "dipendenza esplicita" dalla x.
Dai un'occhiata qui, ma con calma ed attenzione, se ti può servire:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
Ehm si ora mi è molto più chiaro grazie mille!! Ho capito l' errore che ho compiuto!!!
Mi fa piacere. 
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