Equazione differenziale...quiz

[bartofra]

Mi trovo a dover risolvere questo problema sotto forma di quiz.

L' equazione differenziale $Y'''' - 16*y =0$ è tale che:
a) ogni soluzione è limitata su R
b) ogni soluzione ha limite per $t->infty$
c) ha infinite soluzioni periodiche
d) ha infinite soluzioni integrabili su R

Soltanto una delle precedenti affermazioni dovrebbe essere quella giusta

Risolvendo trovo:
$ a^4 - 16 =0$ a1=2 a2=-2 a3 =i2 a4=-i2

L'integrale generale risulta quindi:

$ y= C1*e^(2*t) +C2*e^(-2t) + C3*sin(2t) + C4*cos(2t)$

A questo punto scarterei immediatamente sia la risposta a) che la b). Le altre due mi sembrano entrambe giuste. Ma non puo essere visto che solo una è la risposta.
Cioè: $C3*sin(2t) + C4*cos(2t)$ mi danno infinite soluzioni periodiche (dopo aver eliminato C1 e C2)

Ma ugualmente ogni soluzione è anche integrabile su R (o no?)

Qualcuno puo darmi un suo parere?

[Gi81]

Guarda, tutte le considerazioni che hai fatto mi sembrano corrette.
Penso che con "soluzione integrabile su $RR$" si intenda che l'integrale su tutto $RR$ esiste ed è un numero finito

[bartofra]

Il problema è proprio li.Poichè la risposta deve essere unica. Tu pensi che ci siano infinite soluzioni integrabili su R?

[Gi81]

Direi proprio di no. Anzi, non ce n'è neanche una.

[bartofra]

Grazie, ora ho capito

[Rigel1]

"Gi8":Direi proprio di no. Anzi, non ce n'è neanche una.

A guardare bene una c'è.

[Gi81]

"Rigel":[quote="Gi8"]Direi proprio di no. Anzi, non ce n'è neanche una.

A guardare bene una c'è.[/quote]giusto

[bartofra]

Intendete la soluzione nulla?

[Gi81]

Esattamente: $y(x)=0$, che otteniamo ponendo $c_1=c_2=c_3=c_4=0$