Equazione differenziale:problema inverso

[jestripa-votailprof]

ciao!chi mi sa suggerire un metodo per individuare un'equazione differenziale dato l'integrale?
capiamoci meglio con un esempio:
individuare un' eq. differenziale (lineare e del 2 ordine) della quale siano soluzioni tutte le funzioni del tipo:
$c_1e^x+c_2e^(2x)+1$

[gugo82]

"jestripa":ciao!chi mi sa suggerire un metodo per individuare un'equazione differenziale dato l'integrale?
capiamoci meglio con un esempio:
individuare un' eq. differenziale (lineare e del 2 ordine) della quale siano soluzioni tutte le funzioni del tipo:
$c_1e^x+c_2e^(2x)+1$

Le due funzioni $e^x$ ed $e^(2x)$ sono indipendenti (infatti hanno wronskiano non nullo).
Dalla teoria delle EDO lineari, sai che un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti $\sum_(i=0)^n a_i*y^((i))=0$ ha esattamente $n$ soluzioni indipendenti e che esse sono del tipo $e^(lambdax)$, ove $lambda$ è una radice (reale o complessa) del polinomio caratteristico $\sum_(i=0)^n a_i*lambda^i$.
Nel tuo caso hai assegnati due valori di $lambda$, ossia $lambda_1=1$ e $lambda_2=2$ (coefficienti delle $x$ negli esponenti degli esponenziali), quindi puoi indurre che l'equazione differenziale che cerchi abbia come polinomio caratteristico uno di quelli che ammettono $lambda_1,lambda_2$ come radici: ne viene che il polinomio caratteristico associato all'EDO che cerchi può essere:

$(lambda-1)*(lambda-2)=lambda^2-3lambda+2$;

sostituendo le derivate della funzione incognita al posto di $lambda$ nel secondo membro della precedente trovi $y''-3y'+2y$.

Hai così trovato la "parte lineare" dell'EDO che cercavi; ora bisogna determinare il termine noto. Questo è molto facile: infatti per determinare il termine noto basta prendere la parte "senza parametri" della funzione assegnata, ossia $bary=1$, sostituirla nella parte lineare dell'equazione e vedere cosa esce fuori: nel tuo caso hai:

$bary''-3bary'+2bary=0-3*0+2*1=2$,

quindi $bary$ è una soluzione particolare dell'equazione completa:

$y''-3y'+2y=2$

della quale la famiglia di funzioni assegnata $c_1e^x+c_2e^(2x)+1$ rappresenta l'integrale generale.

[jestripa-votailprof]

grazieeeeeeeeeee!
non è troppo difficile!
son sicura che se me lo fossi trovato davanti direttamente al compito avrei perso chissà quanto tempo a ragionarci su!