Equazione Differenziale:due quesiti

[Apocalisse86]

Salve a tutti sono nuovo!!Spero che qualcuno mi dia una mano per risolvere questo problema

Sia data la seguente equazione differenziale:

$y''-9y=6x $

1)determinare una soluzione dell'equazione che sia lineare e dire (motivando la risposta ) se esistono altre soluzioni con questa proprietà;
2)determinare una soluzione dell'equazione che ammette un'asintoto obliquo quando x tende a più infinito e calcolarlo. In più dire se esistono altre soluzioni dell'equazione con questa proprietà (motivando la risposta ).

intanto l'integrale generale a me è venuto:

$y(x)=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}-\frac{2}{3}x$

grazie in anticipo a che mi risponderà!!

[_Tipper]

Le uniche funzioni lineari di $\mathbb{R}$ in sé sono quelle del tipo: $f(x) = \alpha x$, $\alpha \in \mathbb{R}$, quindi, se l'integrale generale è quello che hai scritto, l'unica soluzione lineare si ottiene per $C_1 = C_2 = 0$.

[_Tipper]

Per quanto riguarda l'asintoto obliquo, una funzione reale di variabile reale ammette come asintoto obliquo la retta di equazione $y = mx + q$ per $x \to +\infty$ se e solo se

$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$

e

$\lim_{x \to +\infty} f(x) - mx = q$

Affinché $\lim_{x \to +\infty} \frac{C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} - \frac{2}{3} x}{x}$ esista finito è sufficiente che $C_1 = 0$. Per l'altra condizione puoi ragionare analogamente.

[Apocalisse86]

Grazie mille Tipper!!!Sei stato chiarissimo, esauriente e super veloce nel rispondere!!!
Grazie ancora!!!
per qualsiasi altro problema spero di poter contare su di voi!!!
Ciao Ciao

[Apocalisse86]

Forse sto per fare una domanda stupida....però la faccio perché è una curiosità!!

Considerando sempre la stessa equazione differenziale:
$y''-9y=6x$ con integrale generele $y(x)=C_1e^(3x)+C_2e^(-3x)-2/3x$

è possibile creare un problema di Cauchy della forma:
$y''-9y=6x$ $y(?)=?$ $y'(?)=?$
cioè con i valori iniziali da determinare affinché la soluzione sia ad esempio lineare o che ammetta asintoto obliquo.

[_Tipper]

Se ho capito bene: tu vorresti determinare le condizioni iniziali affinché la soluzione sia lineare (risp. abbia asintoto obliquo)? Se fosse così in questo caso si può fare: calcoli la soluzione lineare, $y(x) = - \frac{2}{3} x$, e imponi le condizioni iniziali, ad esempio $y(0) = 0$ e $y'(0) = - \frac{2}{3}$.
In questo modo il problema iniziale, con queste condizioni iniziali, ammetterebbe una soluzione lineare.
Stessa zolfa per l'asintoto obliquo.

[Apocalisse86]

"Tipper":se l'integrale generale è quello che hai scritto, l'unica soluzione lineare si ottiene per $C_1 = C_2 = 0$.

quindi la condizione $C_1 = C_2 = 0$ è equivalente al problema di Cauchy che tu mi hai scritto...giusto?

in più posso pure affermare, tenendo conto del Teorema di Esistenza e Unicità, che solo con queste condizioni iniziali la mia soluzione $y(x)$ può essere lineare cioè che quindi non possono esistere altre soluzioni con questa proprietà!!Confermi?

ps

potresti scrivermi i passaggi per trovare i valori iniziali affinché la soluzione ammetta asintoto obliquo per $x \rightarrow +\infty$ ??

grazie mille davvero!!

[_Tipper]

"Apocalisse86":quindi la condizione $C_1 = C_2 = 0$ è equivalente al problema di Cauchy che tu mi hai scritto...giusto?

Giusto (anche se è equivalente alla soluzione del prooblema di Cauchy che si ottiene con quelle condizioni ).

[_Tipper]

"Apocalisse86":in più posso pure affermare, tenendo conto del Teorema di Esistenza e Unicità, che solo con queste condizioni iniziali la mia soluzione $y(x)$ può essere lineare cioè che quindi non possono esistere altre soluzioni con questa proprietà!!Confermi?

Confermo.

[_Tipper]

"Apocalisse86":potresti scrivermi i passaggi per trovare i valori iniziali affinché la soluzione ammetta asintoto obliquo per $x \rightarrow +\infty$ ??

Come ho detto qualche post più su, affinché

$\lim_{x \to +\infty} \frac{C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} - \frac{2}{3} x}{x}$

esista finito deve valere $C_1 = 0$. In tal caso l'integrale generale dell'equazione differenziale si riduce a $y(x) = C_2 e^{-3x} - \frac{2}{3} x$, ed inoltre

$\lim_{x \to +\infty} \frac{C_2 e^{-3x} - \frac{2}{3} x}{x} = - \frac{2}{3}$

Deve esistere finito pure il limite

$\lim_{x \to +\infty} C_2 e^{-3x} - \frac{2}{3} x - (- \frac{2}{3} x)$

ma questo vale $0$ per ogni $C_2 \in \mathbb{R}$. In definitiva, di soluzioni che ammettono come asintoto obliquo la retta di equazione $y = - \frac{2}{3} x$ ce ne sono infinite, e sono del tipo

$y(x) = C_2 e^{-3x} - \frac{2}{3} x$

Pertanto due possibili condizioni iniziali da associare all'equazione differenziale di partenza, per ottenere un problema di Cauchy che ammetta questa famiglia di soluzioni, sono

$y(0) = C_2$

$y'(0) = -3 C_2 - \frac{2}{3}$

[Apocalisse86]

Wow Tipper non so come ringraziarti . Sei stato chiarissimo, preciso e super mega gentile!!!Spero che se avrò altri dubbi potrò contare su di te\voi!!!

ps
solo un piccolo dubbio! Tenendo presente il testo dell'esercizio:

"Apocalisse86":
1)determinare una soluzione dell'equazione che sia lineare e dire (motivando la risposta ) se esistono altre soluzioni con questa proprietà;
2)determinare una soluzione dell'equazione che ammette un'asintoto obliquo quando x tende a più infinito e calcolarlo. In più dire se esistono altre soluzioni dell'equazione con questa proprietà (motivando la risposta ).

associare il problema di Cauchy con le condizioni iniziali che determinano una soluzione particolare con le proprietà richieste(linearità e poi asintoto) non è necessario giusto? nel senso: per rispondere al primo quesito basta solo dire che è necessario porre nella $y(x)$ $C_1=C_2=0$ per avere la soluzione lineare; mentre per rispondere al secondo, mutatis mutandis lo risolvo sempre ragionando su $C_1$ e $C_2$ come hai fatto tu senza associare il problema di Cauchy...

[_Tipper]

Certo, non importa riscrivere il problema di Cauchy...

[Apocalisse86]

ok grazie mille ancora!!!