Equazione differenziale(difficoltà in equazione di 3° grado)

frenky46
Salve ragazzi devo trovare l'integrale della seguente equazione differenziale

$y'''-5y''+y'-5y=2e^(5x)+(cosx)/2-10$

ma ho stranamente difficoltà nel risolvere l'equazione omogenea di 3° grado :?

$lambda^3-5lambda^2+lambda-5=0$ :x

qualcuno puo aiutarmi ?

inoltre vorrei sapere se è corretto individuare la $y_P$ dividendola in due una per $e^(5x)$ e una per il $cosx$ Grazie mille :P

Risposte
Mathcrazy
[tex]$\lambda^3-5\lambda^2+\lambda-5= (\lambda - 5)(\lambda^2+1)$[/tex]

Infatti, tra i primi due termini puoi,inizialmente, mettere in evidenza [tex]$\lambda^2$[/tex], e ottieni:

[tex]$\lambda^2 (\lambda-5)+ (\lambda-5)$[/tex]

Ora metti in evidenza [tex]$(\lambda-5)$[/tex], ottenendo:

[tex]$(\lambda - 5)(\lambda^2+1)$[/tex]

faximusy
"frenky46":
Salve ragazzi devo trovare l'integrale della seguente equazione differenziale

$y'''-5y''+y'-5y=2e^(5x)+(cosx)/2-10$

ma ho stranamente difficoltà nel risolvere l'equazione omogenea di 3° grado :?

$lambda^3-5lambda^2+lambda-5=0$ :x

qualcuno puo aiutarmi ?

inoltre vorrei sapere se è corretto individuare la $y_P$ dividendola in due una per $e^(5x)$ e una per il $cosx$ Grazie mille :P


Io trovo una radice ad occhio, che è semplice, e poi divido il tutto con la regola di Ruffini. Ad esempio Mathcrazy la trova facilmente nel numero $5$ :D

Riguardo $Y_p$, in realtà lo devi dividere in tre parti. Non dimenticare il $-10$ insomma :D

frenky46
"Mathcrazy":
[tex]$\lambda^3-5\lambda^2+\lambda-5= (\lambda - 5)(\lambda^2+1)$[/tex]

Infatti, tra i primi due termini puoi,inizialmente, mettere in evidenza [tex]$\lambda^2$[/tex], e ottieni:

[tex]$\lambda^2 (\lambda-5)+ (\lambda-5)$[/tex]

Ora metti in evidenza [tex]$(\lambda-5)$[/tex], ottenendo:

[tex]$(\lambda - 5)(\lambda^2+1)$[/tex]


Oddio grazie nn so come ho fatto a non pensarci che stupido :oops:

Riguardo Yp, in realtà lo devi dividere in tre parti. Non dimenticare il -10 insomma Very Happy


Lo immaginavo e come faccio a tenerlo presente?
Tipo le mie soluzioni sono $5$ e $pm i$ quindi i miei $y_P$ sono :

$y_(P_1)=ax*e^(5x)$ perchè una soluzione è $5$

$y_(P_2)=x^2*(a*cosx+b*senx)$ per le due soluzioni $pm i $ :shock: corretto ?

e poi la terza per tener presente il $-10$ ?

faximusy
"frenky46":


Lo immaginavo e come faccio a tenerlo presente?
Tipo le mie soluzioni sono $5$ e $pm i$ quindi i miei $y_P$ sono :

$y_(P_1)=ax*e^(5x)$ perchè una soluzione è $5$

$y_(P_2)=x^2*(a*cosx+b*senx)$ per le due soluzioni $pm i $ :shock: corretto ?

e poi la terza per tener presente il $-10$ ?


La prima va bene, la seconda no, perchè la soluzione non è doppia, ma singola. Quindi hai:

$y_(P_2)=x*(a*cosx+b*senx)$


Il terzo caso è molto semplice, perchè è semplicemente:

$Y_(P_3)=A$, e quindi verrebbe $A=2$



(ovviamente ognuna delle lettere fa riferimento alla propria equazione particolare, quindi alla fine vanno tutte sommate insieme all'integrale generale)

frenky46
"faximusy":

La prima va bene, la seconda no, perchè la soluzione non è doppia, ma singola. Quindi hai:

$y_(P_2)=x*(a*cosx+b*senx)$


Il terzo caso è molto semplice, perchè è semplicemente:

$Y_(P_3)=A$, e quindi verrebbe $A=2$



(ovviamente ognuna delle lettere fa riferimento alla propria equazione particolare, quindi alla fine vanno tutte sommate insieme all'integrale generale)


Ok grazie mille ancora. :D

gugo82
[OT, terminologico]

@frenky46: I polinomi hanno "grado"... Le equazioni differenziali hanno "ordine"; insomma, la tua è un'equazione del terzo ordine non certo di "terzo grado".

[/OT]

frenky46
"gugo82":
[OT, terminologico]

@frenky46: I polinomi hanno "grado"... Le equazioni differenziali hanno "ordine"; insomma, la tua è un'equazione del terzo ordine non certo di "terzo grado".

[/OT]


Si lo so ma il mio titolo era riferito proprio per far capire che avevo difficoltà nel risolvere l'equazione di terzo grado e non quella omogenea di terzo ordine

pater46
Scusate se mi intrometto... Ma per $Yp$ cosa intendete? La soluzione generale dell'omogenea?

E' da un pò che vedo questa notazione qui sul forum, e volevo capire un pò meglio di cosa si tratta.

frenky46
No non è la soluzione dell'omogenea

con $y_P$ intendiamo l'equazione particolare.

pater46
Aaaahh ok ho scritto una cavolata. Avete usato il principio di sovrapposizione, ok. Ho capito, grazie :D

faximusy
Io lo chiamo integrale particolare :D

Di solito lo indico con la lettera greca $\phi$ (avendo studiato al liceo classico, mi piace usarle spesso XD)

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