Equazione differenziale\applicazione lineare
Salve, avrei bisogno che mi rinfrescaste la memoria su un argomento che non ho mai capito troppo bene. Mi ricordo che l'operazione di derivazione può essere vista come un operatore lineare. Mi ricordo inoltre vagamente un collegamento tra la risoluzione dell'equazione differenziale e gli autovalori associati all'operatore lineare derivata. Ricordo male o c'entra qualcosa? Se sì, mi potete mandare qualche link dove approfondire questa cosa? Perché io studio ingegneria e sui mie vecchi appunti/libri di testo di analisi non ho trovato quello che cercavo.
Tipo $\ddot y + \dot y + y = 0$ lo posso vedere come $( d^2/{d^2x} + d/dx)*y = (-1)y$. Se chiamo $( d^2/{d^2x} + d/dx) = L$ e pongo $\lambda = -1$ ottengo $Ly = \lambda y$ che mi ricorda gli operatori in Meccanica Quantistica, soltanto che so già il valore dell'autovalore ($\lambda = -1$).
Sul libro "Linear Algebra" di "Gilbert Strang" ho letto che (correggetemi se sbaglio), se $y$ fosse un polinomio, allora posso scriverlo come un vettore tipo $\bar y = ((costante), (x), (x^2), (x^3), (...)) $ e allora l'operatore di deravazione $d/dx$ diventa $((0, 1, 0, ...), (0, 0, 2, ...), (0, 0, 0, ...), (..., ..., ..., ...))$
Però se ho una funzione incognita $y$ non ho ben capito come possa fare. E non mi viene neanche in mente un collegamento palese tra la soluzione e l'equazione degli autovalori.
Grazie in anticipo,
Ric
Tipo $\ddot y + \dot y + y = 0$ lo posso vedere come $( d^2/{d^2x} + d/dx)*y = (-1)y$. Se chiamo $( d^2/{d^2x} + d/dx) = L$ e pongo $\lambda = -1$ ottengo $Ly = \lambda y$ che mi ricorda gli operatori in Meccanica Quantistica, soltanto che so già il valore dell'autovalore ($\lambda = -1$).
Sul libro "Linear Algebra" di "Gilbert Strang" ho letto che (correggetemi se sbaglio), se $y$ fosse un polinomio, allora posso scriverlo come un vettore tipo $\bar y = ((costante), (x), (x^2), (x^3), (...)) $ e allora l'operatore di deravazione $d/dx$ diventa $((0, 1, 0, ...), (0, 0, 2, ...), (0, 0, 0, ...), (..., ..., ..., ...))$
Però se ho una funzione incognita $y$ non ho ben capito come possa fare. E non mi viene neanche in mente un collegamento palese tra la soluzione e l'equazione degli autovalori.
Grazie in anticipo,
Ric
Risposte
Il formalismo è esattamente lo stesso della meccanica quantistica, quello degli operatori lineari. La cosa che hai trovato sui polinomi è vera ma aiuta pochino in pratica. Il vecchio Pagani-Salsa (1995) ha tutto un capitolo sulle equazioni differenziali lineari, è fatto bene.
Grazie mille. Avevo quello di analisi 1, ma presuppongo queste cose siano nell'altro volume. Quando mi capita sotto mano andrò a controllare!
Eh si è il secondo volume. Se non lo trovi puoi scaricarne una scansione da Internet.
già fatto eheheh 
Ma se domani lo trovo in biblioteca tanto meglio ché odio leggere al pc
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