Equazione differenziale $y''+4y=2^x$

[sonic255-votailprof]

Salve a tutti, potreste aiutarmi a risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine? Ho iniziato da poco a dedicarmi a questa parte dell'analisi e quindi credo che le mie difficoltà siano dovute a una mancanza di esercizio. L'equazione è $y''+4y=2^x$ Procedendo come è spiegato nel mio libro di liceo, trovo l'equazione caratteristica dell'omogenea associata, ovvero $k^2+4$; essa ha due radici complesse $k=\pm 2i$ e quindi l'integrale generale dell'omogenea associata è $y=c_1cos(2x)+c_2sin(2x)$. Adesso dovrei scegliere una funzione $q(x)$ in base al termine noto,$2^x$, per poter poi applicare il metodo dei coefficienti indeterminati. Ed è qui che mi sono bloccato: nella tabella riassuntiva del libro, quella che mi permette di scegliere la forma di questa $q(x)$ in base al termine noto ho tre possibili casi di termini noti, il polinomio di grado $n$, l'esponenziale $Ae^(alpha x)$ e il seno/coseno. Ma in questo caso non riesco a capire quale sia la forma di questa $q(x)$. Forse rientra nel caso dell'esponenziale, essendo $2^x=e^(xl2)$?

[cntrone]

$2^x= e^(xln2)$

[sonic255-votailprof]

Sì, ho sbagliato a digitare, scusatemi, quindi da $2^x=e^(xln2)$ ho che la $q(x)$ che sto cercando dovrebbe essere $Be^x$. Trovo le derivate, $q(x)=q'(x)=q''(x)$ e andando a sostituire nell'equazione di secondo ordine ho $5Be^x = 2^x$; affinchè le basi siano uguali $B = 2/(5e)$. Infine posso scrivere l'integrale generale $y=c_1cos(2x)+c_2sin(2x) + 2e^(x - 1)/5$.
È corretto?

[cntrone]

"Genryuusai":Sì, ho sbagliato a digitare, scusatemi, quindi da $2^x=e^(xln2)$ ho che la $q(x)$ che sto cercando dovrebbe essere $Be^x$. Trovo le derivate, $q(x)=q'(x)=q''(x)$ e andando a sostituire nell'equazione di secondo ordine ho $5Be^x = 2^x$; affinchè le basi siano uguali $B = 2/(5e)$. Infine posso scrivere l'integrale generale $y=c_1cos(2x)+c_2sin(2x) + 2e^(x - 1)/5$.
È corretto?

allora secondo me è sbagliato.. tu devi trovare una soluzione particolare del tipo $alphae^(xln2)$ e non $alphae^x$..

tuttavia visto che io ho domani l'esame di analisi 2 e potrei sbagliare aspetta conferma da qualcuno..