Equazione differenziale y'' + y = e^x (x^2 -1)
Ciao a tutti 
Ho difficoltà a trovare l'integrale generale \(\displaystyle y \) dell'equazione differenziale
\(\displaystyle y'' + y = e^x (x^2 -1) \)
Ho provato a risolverla impiegando la proprietà della linearità:
\(\displaystyle y = y_0 + y_{p1} + y_{p2} \)
dove
\(\displaystyle y_0 \) è la soluzione dell'omogenea associata;
\(\displaystyle y_{p1} \) è la soluzione particolare dell'equazione \(\displaystyle y'' + y = - e^x \);
\(\displaystyle y_{p2} \) è la soluzione particolare dell'equazione \(\displaystyle y'' + y = e^x x^2 \).
Se ho fatto bene i conti:
\(\displaystyle y_0 = c_1 \cos x + c_2 \sin x\);
\(\displaystyle y_{p1} = -\frac{1}{2}e^x \).
Per \(\displaystyle y_{p2} \) ho provato a cercare una soluzione tipo \(\displaystyle \tilde{y}_{p2} = c x^2 e^x \), ma andandola a sostituire ottengo:
\(\displaystyle c e^x \left ( 2+4x+2x^2 \right ) = e^x x^2 \)
con sistema impossibile
$\{(2c=0), (4c=0), (2c=1):}$
Quale strada posso prendere?
Esiste un altro modo per risolvere l'integrale senza dover dividerlo in tre parti?
Ho difficoltà a trovare l'integrale generale \(\displaystyle y \) dell'equazione differenziale
\(\displaystyle y'' + y = e^x (x^2 -1) \)
Ho provato a risolverla impiegando la proprietà della linearità:
\(\displaystyle y = y_0 + y_{p1} + y_{p2} \)
dove
\(\displaystyle y_0 \) è la soluzione dell'omogenea associata;
\(\displaystyle y_{p1} \) è la soluzione particolare dell'equazione \(\displaystyle y'' + y = - e^x \);
\(\displaystyle y_{p2} \) è la soluzione particolare dell'equazione \(\displaystyle y'' + y = e^x x^2 \).
Se ho fatto bene i conti:
\(\displaystyle y_0 = c_1 \cos x + c_2 \sin x\);
\(\displaystyle y_{p1} = -\frac{1}{2}e^x \).
Per \(\displaystyle y_{p2} \) ho provato a cercare una soluzione tipo \(\displaystyle \tilde{y}_{p2} = c x^2 e^x \), ma andandola a sostituire ottengo:
\(\displaystyle c e^x \left ( 2+4x+2x^2 \right ) = e^x x^2 \)
con sistema impossibile
$\{(2c=0), (4c=0), (2c=1):}$
Quale strada posso prendere?
Esiste un altro modo per risolvere l'integrale senza dover dividerlo in tre parti?
Risposte
"Brancaleone":
Per \(\displaystyle y_{p2} \) ho provato a cercare una soluzione tipo \(\displaystyle \tilde{y}_{p2} = c x^2 e^x \), ma andandola a sostituire ottengo:
\(\displaystyle c e^x \left ( 2+4x+2x^2 \right ) = e^x x^2 \)
Prova \(\displaystyle {y}_{p2} = c x^2 e^x+dx e^x+ee^x \)
Grazie, ora viene!
\(\displaystyle y = y_0 + y_{p1} + y_{p2} = \)
\(\displaystyle = \left [c_1 \cos x + c_2 \sin x \right ] + \left ( -\frac{1}{2}e^x \right ) + \left [ \left ( \frac{1}{2} -x +\frac{1}{2}x^2 \right ) e^x \right ] = \)
\(\displaystyle = \frac{e^x x \left (x-2 \right )}{2} + c_1 \cos x + c_2 \sin x\)
\(\displaystyle y = y_0 + y_{p1} + y_{p2} = \)
\(\displaystyle = \left [c_1 \cos x + c_2 \sin x \right ] + \left ( -\frac{1}{2}e^x \right ) + \left [ \left ( \frac{1}{2} -x +\frac{1}{2}x^2 \right ) e^x \right ] = \)
\(\displaystyle = \frac{e^x x \left (x-2 \right )}{2} + c_1 \cos x + c_2 \sin x\)
"wnvl":
[quote="Brancaleone"]
Per \(\displaystyle y_{p2} \) ho provato a cercare una soluzione tipo \(\displaystyle \tilde{y}_{p2} = c x^2 e^x \), ma andandola a sostituire ottengo:
\(\displaystyle c e^x \left ( 2+4x+2x^2 \right ) = e^x x^2 \)
Prova \(\displaystyle {y}_{p2} = c x^2 e^x+dx e^x+ee^x \)[/quote]
ciao, scusate se rispolvero questo vecchio post ma mi sono ritrovato a fare questo stesso esercizio e proprio non sto capendo perché devo cercare la soluzione nella forma qui suggerita... grazie
ciao mrmojorisin89
è una equazione differenziale del secondo ordine non omogenea
$y''+y= x^2e^x -e^x$
1) trovi la soluzione della omogenea
2) trovi la soluzione PARTICOLARE supponendo il secondo membro $=x^2e^x$
3) trovi la soluzione PARTICOLARE supponendo il secondo membro $=-e^x$
è una equazione differenziale del secondo ordine non omogenea
$y''+y= x^2e^x -e^x$
1) trovi la soluzione della omogenea
2) trovi la soluzione PARTICOLARE supponendo il secondo membro $=x^2e^x$
3) trovi la soluzione PARTICOLARE supponendo il secondo membro $=-e^x$
si, fin qui ci sono, ma nel passaggio 2 non capisco perché quella scelta
($cx^2e^x+dxe^x+ee^x$).
So che possiamo applicare il metodo di somiglianza quando il secondo membro è particolarmente semplice, come un esponenziale o un polinomio o una funziona trigonometrica riconducibile ad una esponenziale, ma qui abbiamo $x^2e^x$... come hai scelto $cx^2e^x+dxe^x+ee^x$? Si va per tentativi o c'è un metodo? grazie
($cx^2e^x+dxe^x+ee^x$).
So che possiamo applicare il metodo di somiglianza quando il secondo membro è particolarmente semplice, come un esponenziale o un polinomio o una funziona trigonometrica riconducibile ad una esponenziale, ma qui abbiamo $x^2e^x$... come hai scelto $cx^2e^x+dxe^x+ee^x$? Si va per tentativi o c'è un metodo? grazie
ok, mi rispondo da solo per chi, come me, un giorno potrà avere bisogno della spiegazione dopo aver cercato inutilmente il metodo nel libro di testo.
Il mio libro parla di come affrontare questo tipo di equazioni con termine noto esponenziale, polinomiale, seno o coseno, o una somma di questi. Ma non dice nulla su termini noti del tipo $q(t)e^lambdat$.
Che in realtà è il caso generale di equazioni con termine noto polinomiale, considerando $lambda = 0$.
Comunque, vi allego la pagina che mi ha illuminato:
http://www.****.it/lezioni/analisi-d ... rdine.html
Il mio libro parla di come affrontare questo tipo di equazioni con termine noto esponenziale, polinomiale, seno o coseno, o una somma di questi. Ma non dice nulla su termini noti del tipo $q(t)e^lambdat$.
Che in realtà è il caso generale di equazioni con termine noto polinomiale, considerando $lambda = 0$.
Comunque, vi allego la pagina che mi ha illuminato:
http://www.****.it/lezioni/analisi-d ... rdine.html
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo