Equazione Differenziale $ y''-λ^2y'=e^(-λx) $
Ciao a tutti! Ho questa equazione differenziale del secondo ordine da proporvi:
$ y''-λ^2y'=e^(-λx) $
1) trova integrale generale
2) si cerchino eventuali integrali infinitesimi per x $ rArr oo $ .
Il secondo punto può aspettare, perché ho già problemi con l'integrale generale. L'eq. omogenea associata é $ alpha^2-lambda^2alpha=0 $ che da come soluzioni $ alpha_1=0 $ e $ alpha_2=lambda^2 $ .
Da qui ho pensato bene che la soluzione della omogenea associata fosse $ y_o=c_1+c_2e^(lambda^2x) $ mentre invece da altre parti trovo che dovrebbe essere $ y_o=c_1+(c_2e^(lambda^2x))/lambda^2 $ .
Dov'é che sbaglio?
Punto 2) che cosa intende per "si cerchino eventuali integrali infinitesimi per x $ rArr oo $ ." ?
si tratta di trovare quei valori di $ lambda $ per cui facendo tendere x $ rArr oo $ la f(x) tende a zero?
Grazie mille a tutti per la vostra collaborazione!
$ y''-λ^2y'=e^(-λx) $
1) trova integrale generale
2) si cerchino eventuali integrali infinitesimi per x $ rArr oo $ .
Il secondo punto può aspettare, perché ho già problemi con l'integrale generale. L'eq. omogenea associata é $ alpha^2-lambda^2alpha=0 $ che da come soluzioni $ alpha_1=0 $ e $ alpha_2=lambda^2 $ .
Da qui ho pensato bene che la soluzione della omogenea associata fosse $ y_o=c_1+c_2e^(lambda^2x) $ mentre invece da altre parti trovo che dovrebbe essere $ y_o=c_1+(c_2e^(lambda^2x))/lambda^2 $ .
Dov'é che sbaglio?
Punto 2) che cosa intende per "si cerchino eventuali integrali infinitesimi per x $ rArr oo $ ." ?
si tratta di trovare quei valori di $ lambda $ per cui facendo tendere x $ rArr oo $ la f(x) tende a zero?
Grazie mille a tutti per la vostra collaborazione!
Risposte
Ciao hearnshow e benvenuto 
Entrambe le soluzioni che hai riportato al punto 1 sono giuste: infatti sia $c_2$ che $\lambda$ sono costanti, quindi si può riscrivere con un unico termine:
dove $c_2=c_3/(lambda^2)$.
Completa ora cercando l'integrale generale per passare poi al punto 2, che ti chiede di verificare se
Entrambe le soluzioni che hai riportato al punto 1 sono giuste: infatti sia $c_2$ che $\lambda$ sono costanti, quindi si può riscrivere con un unico termine:
$y_o(x)=c_1+c_2 * exp(lambda^2 x)=c_1+c_3 * exp(lambda^2 x)/(lambda^2)$
dove $c_2=c_3/(lambda^2)$.
Completa ora cercando l'integrale generale per passare poi al punto 2, che ti chiede di verificare se
$lim_(x->+oo) y(x)=0$
$lim_(x->-oo) y(x)=0$
Grazie mille per la risposta Brancaleone! In effetti la risposta alla mia domanda era più semplice di quel che pensassi!
Allora riprendendo l'esercizio cosi a occhio mi viene:
$ lim_(x -> + oo ) y(x) = + oo $
$ lim_(x -> - oo ) y(x) = c_1 $
Di conseguenza l'unico integrale infinitesimo é:
$ y(x)= c3⋅exp^(λ^2x)/λ^2 $ con $ c_1 = 0 $ per $ (x -> - oo ) $
é Corretto?
Allora riprendendo l'esercizio cosi a occhio mi viene:
$ lim_(x -> + oo ) y(x) = + oo $
$ lim_(x -> - oo ) y(x) = c_1 $
Di conseguenza l'unico integrale infinitesimo é:
$ y(x)= c3⋅exp^(λ^2x)/λ^2 $ con $ c_1 = 0 $ per $ (x -> - oo ) $
é Corretto?
No un momento: qual è l'integrale generale?
L'integrale generale dovrebbe essere questo $ y(x)=c_1+c_3⋅e^(λ^2x)/λ^2 $ in quanto non ci sono altre condizioni che l'esercizio impone...
No, quello è l'integrale $y_o(x)$ che risolve la sola omogenea, non l'integrale generale che è
$y(x)=y_o(x)+y_p(x)$
giusto! 
L'integrale generale mi viene $ y(x)= c_1+c_2e^(lambda^2x)+e^(-lambdax)/[lambda^2(lambda+1)] $
Ora passando ai limiti, l'unica che non mi viene infinito é $ lim _(xrArr -oo) y(x) =0 $ nel caso in cui $ c_1=0 $ .
Ora, ammesso e non concesso che ciò che ho scritto abbia senso, come mi comporto nel caso in cui $ lambda=-1 $ oppure $ lambda=0 $ ?
Grazie mille!
L'integrale generale mi viene $ y(x)= c_1+c_2e^(lambda^2x)+e^(-lambdax)/[lambda^2(lambda+1)] $ Ora passando ai limiti, l'unica che non mi viene infinito é $ lim _(xrArr -oo) y(x) =0 $ nel caso in cui $ c_1=0 $ .
Ora, ammesso e non concesso che ciò che ho scritto abbia senso, come mi comporto nel caso in cui $ lambda=-1 $ oppure $ lambda=0 $ ?
Grazie mille!
"hearnshow":
come mi comporto nel caso in cui $ lambda=-1 $ oppure $ lambda=0 $ ?
Beh, di solito, valori problematici dei parametri si studiano a parte. Qui basta sostituire nell'equazione di partenza e studiarla di nuovo, facile facile
$lambda = 0$ ti dà $y'' = 1$, banalmente $y(x) = cost + x^2/2$, mentre $lambda=-1$ ti dà $y'' - y' = e^x$ che si studia esattamente come hai fatto fin'ora e ti darà $y(x) = k_1 + k_2 e^x + 2e^(-x)$, mi sembra ad occhio (ma potrei sbagliare, quindi controlla che è meglio
).
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