Equazione differenziale + verifica limite e punto critico
Salve a tutti e grazie per l'attenzione.
Uno degli esercizi per l'esame di analisi 2 è il seguente:
Determinare l'integrale generale di $ y''-4y=e^(2x) $
Che mi risulta essere:
$ y(x) = c1e^(-2x)+c2e^(2x)+1/4xe^(2x) $
Selezionare poi la soluzione che verifica il limite --> -infinito = 0
Prima incertezza, suppongo sia $ 1/4xe^(2x) $ è vero?
Classificare per essa il punto critico $ x=0 $
Non ho idea di come fare
Esercizi sui punti critici ne ho fatti alcuni ma erano del tipo mettere a sistema le derivate parziali, trovare i punti critici e poi fare la matrice con gli autovalori etc fino a trovare i punti max min o sella..
Insomma, questo $ x=0 $ mi spiazza e non saprei come risolverlo.
Grazie a tutti!
Uno degli esercizi per l'esame di analisi 2 è il seguente:
Determinare l'integrale generale di $ y''-4y=e^(2x) $
Che mi risulta essere:
$ y(x) = c1e^(-2x)+c2e^(2x)+1/4xe^(2x) $
Selezionare poi la soluzione che verifica il limite --> -infinito = 0
Prima incertezza, suppongo sia $ 1/4xe^(2x) $ è vero?
Classificare per essa il punto critico $ x=0 $
Non ho idea di come fare
Esercizi sui punti critici ne ho fatti alcuni ma erano del tipo mettere a sistema le derivate parziali, trovare i punti critici e poi fare la matrice con gli autovalori etc fino a trovare i punti max min o sella..
Insomma, questo $ x=0 $ mi spiazza e non saprei come risolverlo.
Grazie a tutti!
Risposte
io direi che $forallc_2$,posto $ y=c_2e^(2x)+1/4xe^(2x)$,si ha $ lim_(x -> -infty)y=0 $
forse chiede di trovare la soluzione che verifica anche la condizione " $x=0$ punto critico"
forse chiede di trovare la soluzione che verifica anche la condizione " $x=0$ punto critico"
Aggiungo, oltre a quanto detto in maniera come sempre corretta da quantunquemente, che per rispondere alla prima domanda credo si debba scrivere $c_1=0$
Poi, se $x=0$ deve essere un punto critico... fai la derivata prima della $y$ appena ottenuta, calcola $y'(0)$ ponila uguale a zero e vedi che cosa succede per la seconda costante $c_2$...
Poi, se $x=0$ deve essere un punto critico... fai la derivata prima della $y$ appena ottenuta, calcola $y'(0)$ ponila uguale a zero e vedi che cosa succede per la seconda costante $c_2$...
"quantunquemente":
io direi che $forallc_2$,posto $ y=c_2e^(2x)+1/4xe^(2x)$,si ha $ lim_(x -> -infty)y=0 $
forse chiede di trovare la soluzione che verifica anche la condizione " $x=0$ punto critico"
Grazie per la risposta! Mi sorge però un altro dubbio.
Dunque le soluzioni di cui fare il limite sono due?
$ c1 e^(-2x) $
e
$ c2 e^(2x)+1/4 xe^(2x) $
?
Io pensavo che fossero 3, nel senso che avrei spezzato $ c2 e^(2x)+1/4 xe^(2x) $
in $ c2 e^(2x) $ e $1/4 xe^(2x) $ due risultati diversi per farne poi il limite.. Sicuramente sbagliavo, ma pensavo di far così perchè $ 1/4 xe^(2x) $ l'ho trovato in un secondo momento utilizzando il metodo per similitudine, quindi credevo che fosse un risultato a se' stante.
"mazzarri":
Aggiungo, oltre a quanto detto in maniera come sempre corretta da quantunquemente, che per rispondere alla prima domanda credo si debba scrivere $ c_1=0 $
Poi, se $ x=0 $ deve essere un punto critico... fai la derivata prima della $ y $ appena ottenuta, calcola $ y'(0) $ ponila uguale a zero e vedi che cosa succede per la seconda costante $ c_2 $...
Grazie mi metto all'opera!
enricobibo,
la soluzione è una sola, quella che hai scritto tu con $c_1$ e $c_2$
ora però DEVI trovare c1 e c2... allora il testo ti pone 2 condizioni... una è quella del limite, l'altra quella del punto critico... DUE condizioni per trovare DUE costanti... la prima come ti dicevo si traduce nella richiesta c1=0, l'altra quella del punto critico riguarda c2... una volta trovate entrambe le costanti hai la funzione vera e propria senza c1 e c2 di mezzo
la soluzione è una sola, quella che hai scritto tu con $c_1$ e $c_2$
ora però DEVI trovare c1 e c2... allora il testo ti pone 2 condizioni... una è quella del limite, l'altra quella del punto critico... DUE condizioni per trovare DUE costanti... la prima come ti dicevo si traduce nella richiesta c1=0, l'altra quella del punto critico riguarda c2... una volta trovate entrambe le costanti hai la funzione vera e propria senza c1 e c2 di mezzo
"mazzarri":
enricobibo,
la soluzione è una sola, quella che hai scritto tu con $c_1$ e $c_2$
ora però DEVI trovare c1 e c2... allora il testo ti pone 2 condizioni... una è quella del limite, l'altra quella del punto critico... DUE condizioni per trovare DUE costanti... la prima come ti dicevo si traduce nella richiesta c1=0, l'altra quella del punto critico riguarda c2... una volta trovate entrambe le costanti hai la funzione vera e propria senza c1 e c2 di mezzo
Mmmh ho capito allora, da qualche parte avevo trovato un esercizio in cui prendevano le soluzione "spezzate" e ne facevano il limite di ognuna andando a vedere poi se il risultato ottenuto soddisfava le condizioni richieste..
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