Equazione differenziale tosta
Sto cercando di integrare questa equazione differenziale: $(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0$. Sugli appunti non ho trovato niente di utile, e nemmeno sul libro di supporto che uso (per la cronaca, il Salsa-Pagani). Potreste darmi un aiuto su come procedere?
Risposte
Trattasi di un'equazione differenziale riconducibile ad un'equazione a variabili separabili.
Il procedimento è semplicissimo: innanzitutto si esclude la funzione $y=-x+1/2$, dato che essa non è soluzione dell'equazione (si vede facendo un po' di conti); poi si porta il tutto in forma normale:
$y'=(x+y+1)/(1-2(x+y))\quad$;
si sostituisce $u=x+y$, di modo che l'equazione precedente implica $u'=1+y'=1+(u+1)/(1-2u)=(2-u)/(1-2u)$ (l'apice indica la derivata rispetto ad $x$); quindi si risolve l'e.d.o. a variabili separabili:
$u'=(u-2)/(2u-1) \quad$,
trovando $f(u)=x+c$, con $c\in RR$ costante; infine sostituisci a ritroso $u=y+x$ e determini la soluzione della tua equazione in forma implicita.
Ovviamente il più delle volte esplicitare la soluzione rispetto ad $y$ è, in generale, difficile (anche perchè molto dipende dalla scelta della costante $c$).
Il procedimento è semplicissimo: innanzitutto si esclude la funzione $y=-x+1/2$, dato che essa non è soluzione dell'equazione (si vede facendo un po' di conti); poi si porta il tutto in forma normale:
$y'=(x+y+1)/(1-2(x+y))\quad$;
si sostituisce $u=x+y$, di modo che l'equazione precedente implica $u'=1+y'=1+(u+1)/(1-2u)=(2-u)/(1-2u)$ (l'apice indica la derivata rispetto ad $x$); quindi si risolve l'e.d.o. a variabili separabili:
$u'=(u-2)/(2u-1) \quad$,
trovando $f(u)=x+c$, con $c\in RR$ costante; infine sostituisci a ritroso $u=y+x$ e determini la soluzione della tua equazione in forma implicita.
Ovviamente il più delle volte esplicitare la soluzione rispetto ad $y$ è, in generale, difficile (anche perchè molto dipende dalla scelta della costante $c$).
Direi che la tua spiegazione non lascia adito a dubbi. Ti ringrazio 
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