Equazione differenziale (studio qualitativo)

[elipi1]

Salve a tutti! Allora oggi ho parecchie difficoltà su questo problema di Cauchy:

$ y'=ylog(y^2-x) $
$ y(0)=a>0 $

Ora premetto che mi mancano proprio le basi perchè per ragioni di salute non ero a lezione e i testi che ho non ne parlano... Ho visto un po' di teoria su degli appunti di un'amica...
Detto questo:
il testo chiede di mostrare che y>0 sul suo intervallo di esistenza
Io ispirandomi più che altro a esercizi di cui ho la soluzione ho visto che y' esiste se $ x $ y'>0 $ (e quindi y crescente) se $ x0 $
se $ x>y^2-1 $ per $ y<0 $
inoltre $ y'=0 $ se $ y=0 $ oppure $ y^2=x+1 $

A questo punto però non capisco come concludere, perchè y<0 non va bene?
Grazie mille

[Rigel1]

La funzione $y(x) = 0$, $x \in (-\infty, 0)$, è soluzione dell'equazione differenziale.
Poiché nella regione $\{x < y^2\}$ valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità, nessun'altra soluzione può intersecarla.
Di conseguenza, la tua soluzione è sicuramente positiva per i valori di $x\le 0$ per i quali è definita.
Se poi ti disegni il dominio del secondo membro, vedi subito che la soluzione del PdC è, a questo punto, sempre positiva dove è definita (dal momento che devi avere $y(x) > \sqrt{x}$ per $x>0$).

[elipi1]

ok per x<0 tornava così anche a me;
per $ x>0 $ però io ho $ xsqrt(x) $ oppure $ y<-sqrt(x) $ ... perchè no?

[Rigel1]

Fai un disegno; se la soluzione è $>0$ per $x\le 0$, fa un po' di fatica a finire sotto $-\sqrt{x}$ senza prima attraversare $\sqrt{x}$.

[elipi1]

Aaah, si si perfetto grazie mi ero distratta!