Equazione differenziale strana

[giuppyru-votailprof]

Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale :

$cosx*y'=sinx*y+cos^2x$

$int(y')/y *dx= int tgx *dx$

$ln|y|= - ln|cosx|$

$y_0= 1/cosx$

$y_p=\gamma/cosx$

$y'_(p)=(\gamma'*cosx+\gamma*sinx)/(cos^2x)$

$\gamma'+\gamma*tgx=\gamma*tgx +cos^2x$

Da qua in poi non riesco a capire cosa è stato fatto:

$\gamma'=cos^2x$

$int cosx*dx- int sin^2x*cosx*dx$ $=$ $sinx-(sin^3x)/3$

$\gamma=1/2*x+1/4*sin(2x)$

Qualcuno mi aiuta a capire per favore??
Grazie

[salvozungri]

In rosso il mio commento

"Josephine":[...]

$y'_(p)=(\gamma'*cosx+\gamma*sinx)/(cos^2x)$

$\gamma'+\gamma*tgx=\gamma*tgx +cos^2x$

Da qua in poi non riesco a capire cosa è stato fatto:

(Ha solo sottratto membro a membro il termine [tex]\gamma \tan(x)[/tex] ), dopodichè ha risolto "l'equazione differenziale" determinando [tex]\gamma[/tex]

$\gamma'=cos^2x$

$int cosx*dx- int sin^2x*cosx*dx$ $=$ $sinx-(sin^3x)/3$

$\gamma=1/2*x+1/4*sin(2x)$

Qualcuno mi aiuta a capire per favore??
Grazie

[giuppyru-votailprof]

Grazie ma sono prorpio le ultime due righe che non capisco.

Cioè come risolve l'integrale e come semplifica il rislutato??

[salvozungri]

Hai ragione, c'è qualcosa che non mi torna, non so per quale strano motivo la persona che ha fatto questo esercizio ha integrato $\cos^3(x)$.
Infatti

$int cosx*dx- int sin^2x*cosx*dx= \int cos(x)(1-sin^2(x))dx = \int cos^3(x) dx$ $=$ $sinx-(sin^3x)/3$

Comunque per determinare $\gamma$ è sufficiente integrare $cos^2(x)$

[giuppyru-votailprof]

ok Grazie , quindi la mia $gamma$ sarà :

$gamma=int cos^2x*dx$ $=$ $1/2*(x+senx*cosx)+c$

e quindi la mia $y_p=1/2*(x/cosx+senx)$

e la mia soluzione $y=C_1/cosx+1/2*(x/cosx+senx)$

tutto corretto ?

[faximusy]

La soluzione dovrebbe essere:

$Y= 1/(cosx) ((sinxcosx)/2+x/2+C)$


Sinceramente non ho capito cosa hai fatto O_O

[salvozungri]

Beh avete ottenuto la stessa soluzione, scritta in modo diverso. .

@ Faximusy, non ho capito cosa non hai capito...

[faximusy]

Si, no, è che prima mi era sembrata di leggerla diversamente