Equazione differenziale semplice
Ma non mi viene....
Risolvere con le trasformate di laplace:
$Y^{\prime}'(t)+4Y(t)=9t,Y(0)=0,Y^{\prime}(0)=7$
Risolvere con le trasformate di laplace:
$Y^{\prime}'(t)+4Y(t)=9t,Y(0)=0,Y^{\prime}(0)=7$
Risposte
Sono un po' arrugginito, ma dovrebbe venire così, trasformando a destra e a sinistra secondo Laplace:
$s[s(Y(s)-y(0))-y'(0)]+4Y(s)=\frac{9}{s^2}$
Si tratta ora di esplicitare $Y(s)$ e di antitrasformare.
$s[s(Y(s)-y(0))-y'(0)]+4Y(s)=\frac{9}{s^2}$
Si tratta ora di esplicitare $Y(s)$ e di antitrasformare.
"Tipper":
Sono un po' arrugginito, ma dovrebbe venire così, trasformando a destra e a sinistra secondo Laplace:
$s[s(Y(s)-y(0))-y'(0)]+4Y(s)=\frac{9}{s^2}$
Si tratta ora di esplicitare $Y(s)$ e di antitrasformare.
si c'ero arrivato...Non mi viene l'antitrasformata.
A me viene: $Y(s)=\frac{9}{s^2(s^2+4)}+7\frac{s}{s^2+4}$ che si può anche scrivere come
$Y(s)=\frac{9}{4}\frac{1}{s^2}-\frac{9}{8}\frac{2}{s^2+4}+7\frac{s}{s^2+4}$ e l'antitrasformata vale
$y(t)=\frac{9}{4}t-\frac{9}{8}\sin(2t)+7\cos(2t)$
$Y(s)=\frac{9}{4}\frac{1}{s^2}-\frac{9}{8}\frac{2}{s^2+4}+7\frac{s}{s^2+4}$ e l'antitrasformata vale
$y(t)=\frac{9}{4}t-\frac{9}{8}\sin(2t)+7\cos(2t)$
Ho sbagliato qualcosa, perché così torna $y(0)=7$ e $y'(0)=0$...
Ho trovato l'errore, avevo sbagliato a trasformare, riposto tutto corretto:
$s[sY(s)-y(0)]-y'(0)+4Y(s)=\frac{9}{s^2}$
Risolvendo rispetto a $Y(s)$ si trova $Y(s)=\frac{9}{s^2(s^2+4)}+\frac{7}{s^2+4}$ e questo si può riscrivere come:
$Y(s)=\frac{9}{4}\frac{1}{s^2}-\frac{9}{8}\frac{2}{s^2+4}+\frac{7}{2}\frac{2}{s^2+4}$, quindi l'antitrasformata vale:
$y(t)=\frac{9}{4}t-\frac{9}{8}\sin(2t)+\frac{7}{2}\sin(2t)$
$s[sY(s)-y(0)]-y'(0)+4Y(s)=\frac{9}{s^2}$
Risolvendo rispetto a $Y(s)$ si trova $Y(s)=\frac{9}{s^2(s^2+4)}+\frac{7}{s^2+4}$ e questo si può riscrivere come:
$Y(s)=\frac{9}{4}\frac{1}{s^2}-\frac{9}{8}\frac{2}{s^2+4}+\frac{7}{2}\frac{2}{s^2+4}$, quindi l'antitrasformata vale:
$y(t)=\frac{9}{4}t-\frac{9}{8}\sin(2t)+\frac{7}{2}\sin(2t)$
il risultato è $Y(t)=3t+2sen(2t)
Io ho ottenuto:
$y=(7s^2+9)/(s^2(s^2+4))$
a questo punto come scompongo in fratti semplici dal momento che ho un polo reale doppio e due poli immaginari puri semplici?
$y=(7s^2+9)/(s^2(s^2+4))$
a questo punto come scompongo in fratti semplici dal momento che ho un polo reale doppio e due poli immaginari puri semplici?
"Enea84":
Io ho ottenuto:
$y=(7s^2+9)/(s^2(s^2+4))$
a questo punto come scompongo in fratti semplici dal momento che ho un polo reale doppio e due poli immaginari puri semplici?
Io l'ho riscritto così: $\frac{7}{s^2+4}+\frac{9}{s^2(s^2+4)}$
Ponendo $\frac{9}{s^2(s^2+4)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s^2+4}$, e facendo un po' di conti, si trova $A=\frac{9}{4}$ e $B=-\frac{9}{4}$, quindi riscrivo il tutto come:
$\frac{7}{s^2+4}+\frac{9}{4}\frac{1}{s^2}-\frac{9}{4}\frac{1}{s^2+4}=\frac{7}{2}\frac{2}{s^2+4}+\frac{9}{4}\frac{1}{s^2}-\frac{9}{8}\frac{2}{s^2+4}$
A questo punto l'antitrasformata sarebbe quella che ho detto, ma mi hai detto che il risultato è un altro...
a me la soluzione torna
$y(t)=9/4*t+19/8*sin2t$
infatti trasformando secondo laplace primo e secondo membro otteniamo
$Y(s)=7/(s^2+4)+9/(s^2(s^2+4))$
Ora
$9/(s^2(s^2+4))=(9+9/4s^2-9/4s^2)/(s^2(s^2+4))=9/4*(s^2+4)/(s^2(s^2+4))-9/4s^2/(s^2(s^2+4))=9/4*1/s^2-9/4*1/(s^2+4)$ per cui
$Y(s)=7/(s^2+4)+9/4*1/s^2-9/4*1/(s^2+4)=19/8*1/(s^2+4)+9/4*1/s^2$ da cui antitrasformando
$y(t)=L^-1(Y(s))=19/8*L^-1(1/(s^2+4))+9/4*L^-1(1/s^2)=19/8*sin2t+9/4*t$
Una soluzione alternativa è quella che si usa in analisi 2, cioè
$y(t)=y_o(t)+y_p(t)$. le radici del polinomio caratteristico sono $lambda^2+4=0->lambda=+-2i$ per cui
ora $y_o(t)=Acos2t+Bsin2t$
$y_p(t)=Ct+D,y''_p(t)=0$ per cui sostituendo nell'equazione iniziale si trova $A=9/4,B=0$ cioè $y_p(t)=9/4t$ per cui si ha
${(y(t)=Acos2t+Bsin2t+9/4*t),(y(0)=0),(y'(0)=7):}$ per cui va risolto il sistema ${(A=0),(4B+9/4=7):}$ da cui ${(A=0),(B=19/8):}$ per cui
$y(t)=19/8sin2t+9/4t$ come già trovato
$y(t)=9/4*t+19/8*sin2t$
infatti trasformando secondo laplace primo e secondo membro otteniamo
$Y(s)=7/(s^2+4)+9/(s^2(s^2+4))$
Ora
$9/(s^2(s^2+4))=(9+9/4s^2-9/4s^2)/(s^2(s^2+4))=9/4*(s^2+4)/(s^2(s^2+4))-9/4s^2/(s^2(s^2+4))=9/4*1/s^2-9/4*1/(s^2+4)$ per cui
$Y(s)=7/(s^2+4)+9/4*1/s^2-9/4*1/(s^2+4)=19/8*1/(s^2+4)+9/4*1/s^2$ da cui antitrasformando
$y(t)=L^-1(Y(s))=19/8*L^-1(1/(s^2+4))+9/4*L^-1(1/s^2)=19/8*sin2t+9/4*t$
Una soluzione alternativa è quella che si usa in analisi 2, cioè
$y(t)=y_o(t)+y_p(t)$. le radici del polinomio caratteristico sono $lambda^2+4=0->lambda=+-2i$ per cui
ora $y_o(t)=Acos2t+Bsin2t$
$y_p(t)=Ct+D,y''_p(t)=0$ per cui sostituendo nell'equazione iniziale si trova $A=9/4,B=0$ cioè $y_p(t)=9/4t$ per cui si ha
${(y(t)=Acos2t+Bsin2t+9/4*t),(y(0)=0),(y'(0)=7):}$ per cui va risolto il sistema ${(A=0),(4B+9/4=7):}$ da cui ${(A=0),(B=19/8):}$ per cui
$y(t)=19/8sin2t+9/4t$ come già trovato
Effettivamente con la soluzione che dà il libro i conti non tornano.
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