Equazione differenziale secondo ordine non omogenea

[Peppermint1]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un'equazione differenziale non omogenea
$x''+x=sen(t)+t$

Ho risolto prima l'omogenea associata che ha come radici $+i$ e $-i$ quindi la soluzione è $c_1 cos(t)+c_2 sen(t)$
Poi ho risolto $x''+x=t$ con il metodo della somiglianza è come soluzione trovo $t$
Ora, dovrei risolvere, sempre con il metodo della somiglianza $x''+x=sen(t)$
Cioè $x(t)=A*cos(t)+B*sen(t)$
Derivo due volte e sostituisco
$-A*cos(t)-B*sen(t)+A*cos(t)+B*sen(t)$ e ovviamente A e B sono nulli...
Quindi mi verrebbe da pensare che l'integrale generale è $c_1 cos(t)+c_2 sen(t)+t$ ma se provo a confrontare il risultato su Wolfram Alpha mi dice che esiste anche la soluzione particolare $-1/2 t*cos(t)$

[donald_zeka]

Il metodo per somiglianza ha delle particolari condizioni che dipendono dai valori delle soluzioni del polinomio caratteristico dell'omogenea associata.

[f4747912]

Per il seno si hai trovato bene..
per quel $t$ essendo che ha grado 1 devi cercarla $at+b$ .. e sfruttare il principio di sovrapposizione delle soluzioni $ x''+x=sen(t)+t $

$ x''+x=sen(t)+t $

quindi come se fosse prima
$x''+x=sent$
$x''+x=t$

[kobeilprofeta]

è un filo piu lunga, ma nevale la pena

in questi casi prova
$x=(at+b)(sin t)+(ct+d)(cos t)$

[Peppermint1]

Ok grazie a tutti.. potrei anche usare il metodo del wronskiano?

[f4747912]

Purtroppo non credo esista una regola fissa.. delle volte capitano integrali difficili.. mi rendo conto che durante un esame però tentare un equazione differenziale con il wroskiano accorcia la tempistica..