Equazione differenziale secondo ordine limitata
Buongiorno,
$\{(y''+y'-2y=e^x+e^(2x)),(y(0)=0),(y'(0)=\alpha):}$
mi chiede per quali valori di $\alpha$ la soluzione del problema è limitata in $(-infty,2]$
allora, ho risolto e trovo che $y(t)=c1e^(-2x)+c2e^x+e^x x/3+e^(2x)/4$ $(*)$
Ho controllato ed è giusta. Ora, so che è limitata se esiste il limite finito agli estremi del dominio, giusto?
Quindi trovo le due costanti che valgono $c1=(7-12\alpha)/36$ e $c2=(3\alpha-4)/9$
ora sostituisco in $(*)$ e faccio i limiti agli estremi , a $-infty$ ho che è limitata se c1 e c2 = 0 ...
non so bene come andare avanti, ho sbagliato?
$\{(y''+y'-2y=e^x+e^(2x)),(y(0)=0),(y'(0)=\alpha):}$
mi chiede per quali valori di $\alpha$ la soluzione del problema è limitata in $(-infty,2]$
allora, ho risolto e trovo che $y(t)=c1e^(-2x)+c2e^x+e^x x/3+e^(2x)/4$ $(*)$
Ho controllato ed è giusta. Ora, so che è limitata se esiste il limite finito agli estremi del dominio, giusto?
Quindi trovo le due costanti che valgono $c1=(7-12\alpha)/36$ e $c2=(3\alpha-4)/9$
ora sostituisco in $(*)$ e faccio i limiti agli estremi , a $-infty$ ho che è limitata se c1 e c2 = 0 ...
non so bene come andare avanti, ho sbagliato?
Risposte
"vivi96":
Buongiorno,
$\{(y''+y'-2y=e^x+e^(2x)),(y(0)=0),(y'(0)=\alpha):}$
mi chiede per quali valori di $\alpha$ la soluzione del problema è limitata in $(-infty,2]$
allora, ho risolto e trovo che $y(t)=c_1 e^(-2x)+c_2 e^x+e^x x/3+e^(2x)/4$ $(*)$
Ho controllato ed è giusta. Ora, so che è limitata se esiste il limite finito agli estremi del dominio, giusto?
Avere limite ed essere limitata sono nozioni distinte, anche se correlate... Dovresti saperlo da Analisi I.
"vivi96":
Quindi trovo le due costanti che valgono $c1=(7-12\alpha)/36$ e $c2=(3\alpha-4)/9$
ora sostituisco in $(*)$ e faccio i limiti agli estremi , a $-infty$ ho che è limitata se c1 e c2 = 0 ...
non so bene come andare avanti, ho sbagliato?
Dipende... Se riesci a giustificare i conti, è giusto; altrimenti, no.
E' un esercizio di analisi 1. Non sono bene quale ragionamento devo seguire, direi che essendo unica la soluzione nell intervallo, sia in 2 che in - inf le due costanti devono essere uguali quindi i due limiti devono essere uguali. Li metterei a sistema e troverei il valore di alpha, però in 2 mi viene per ogni c1, c2 mentre in - inf esse devono valere 0
Ancora non mi spiego questa mania di fare le EDO in Analisi I...
Niente niente studi Fisica pure tu?
Ad ogni buon conto, i calcoli sono fatti bene.
Ora, rifletti.
Come si comportano gli addendi della soluzione attorno a $-oo$? Sono limitati? Tutti? Sempre?
Niente niente studi Fisica pure tu?
Ad ogni buon conto, i calcoli sono fatti bene.
Ora, rifletti.
Come si comportano gli addendi della soluzione attorno a $-oo$? Sono limitati? Tutti? Sempre?
Yes, studio fisica!
Comunque sono $y(t)=c1e^infty+c2e^-infty+infty/e^infty+1/e^infty4= c1e^infty$ perchè gli altri termini sono $0$ giusto?
Comunque sono $y(t)=c1e^infty+c2e^-infty+infty/e^infty+1/e^infty4= c1e^infty$ perchè gli altri termini sono $0$ giusto?
No, dai... Scrivi bene e motiva meglio.
Scusa, sono stremata a quest'ora, ci riprovo, non voglio sembrare superficiale
intendi una cosa di questo tipo:
$\lim_{t \to \-infty}y(t)=+infty$
Ho paura di fare figure di ...
intendi una cosa di questo tipo:
$\lim_{t \to \-infty}y(t)=+infty$
Ho paura di fare figure di ...
Capisco la stanchezza, ma sforzati comunque.
Ad ogni buon conto, la tua soluzione ha tutti addendi convergenti in $-oo$ e, perciò, limitati attorno a tale valore, tranne l’addendo che contiene l’esponenziale con esponente $-2x$, cioè $c_1 e^(-2x)$.
Quindi è tale addendo che devi andare a controllare. Per quali valori di $c_1$ esso è limitato attorno a $-oo$?
Ad ogni buon conto, la tua soluzione ha tutti addendi convergenti in $-oo$ e, perciò, limitati attorno a tale valore, tranne l’addendo che contiene l’esponenziale con esponente $-2x$, cioè $c_1 e^(-2x)$.
Quindi è tale addendo che devi andare a controllare. Per quali valori di $c_1$ esso è limitato attorno a $-oo$?
Scusa ero in viaggio, direi per nessun valore di c1, sbaglio ?
Sbagli.
0??
Tiri ad indovinare?
O hai ragionato?
E, se hai ragionato, perché non lo scrivi sul forum?
(Scrivere aiuta sia te, a riordinare le idee e ad individuare potenziali errori/passaggi critici, sia chi ti legge, a congegnare risposte migliori...
)
O hai ragionato?
E, se hai ragionato, perché non lo scrivi sul forum?
(Scrivere aiuta sia te, a riordinare le idee e ad individuare potenziali errori/passaggi critici, sia chi ti legge, a congegnare risposte migliori...
)
Perché 0 è proprio un valore, non è qualcosa che tende a 0. Mentre e^x tende a - infinito..
Dunque?
Come hai ragionato? Non si capisce.
Come hai ragionato? Non si capisce.
Ho detto che se $c1=0$ allora la funzione $y(t)$ è limitata perchè se l'unico termine che non mi garantisce la limitatezza è $e^(2x)$ , il modo per imporre che questo sia finito è moltiplicarlo per lo $0$ perchè qualsiasi numero, per quanto grande sia, moltiplicato per questo mi da comunque 0, quindi ho che a $-infty$ è limitata. Invece per l'altro estremo,2, non ho problemi perchè per qualsiasi valori di $c1,c2$ la $y(t)$ ha comunque dei valori finiti
Ah, ecco... Ora è più chiaro.
E sì, la condizione da imporre per ottenere limitatezza della soluzione è proprio $c_1(alpha)=0$, poiché tale condizione è l'unica che ti garantisce la limitatezza della soluzione intorno a $-oo$ (attraverso la convergenza).
E sì, la condizione da imporre per ottenere limitatezza della soluzione è proprio $c_1(alpha)=0$, poiché tale condizione è l'unica che ti garantisce la limitatezza della soluzione intorno a $-oo$ (attraverso la convergenza).
Grazie mille, per tutto, soprattutto per la pazienza ! 
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