Equazione differenziale Secondo Ordine

[soni5]

Ciao, sto cercando di risolvere questa equazione [tex]$y''+y=(x+1)sinx$[/tex] utilizzando il metodo dell'identità dei polinomi.

[tex]$\lambda^2+1=0$[/tex]
[tex]$\lambda=\pm i$[/tex]
[tex]$c_1cos(x)+c_2sin(x)$[/tex]

[tex]$\alpha+i\beta=i$[/tex] è soluzione con molteplicità $1$,

scrivo [tex]$f(x)=x[(ax+b)cosx+(cx+d)sinx]$[/tex] ne faccio le derivate e sostituisco nell'equazione, ottenendo questo sistema

[tex]$\left\{\begin{matrix}2a+4cx+2d=0\\-4ax-2b+2c=x+1\end{matrix}\right.$[/tex]

però come si può notare, i parametri compaiono tutti e quattro quindi il sistema ammette infinite soluzioni, come faccio allora a determinarli?

[soni5]

Ho provato a risolverene un'altra [tex]$y''+y=xe^{-x}$[/tex],
[tex]$\lambda = \pm i$[/tex]

la soluzione dell'omogenea è [tex]$c_1cosx+c_2sin(x)$[/tex],

provo a vedere se [tex]$(ax+b)e^{-x}$[/tex] è soluzione,

ne faccio la derivata prima [tex]$ae^{-x}-(ax+b)e^{-x}$[/tex]

derivata seconda [tex]$-2ae^{-x}+(ax+b)e^{-x}$[/tex]

sostituisco [tex]$-2ae^{-x}+(ax+b)e^{-x}+(ax+b)e^{-x}=xe^{-x}$[/tex]

impongo l'uguaglianza [tex]$-2a+2ax+2b=x$[/tex]

Stesso problema, troppi parametri... che sto sbagliando?

[ciampax]

Soni, guarda che devi eguagliare i vari coefficienti "costanti" delle varie funzioni. Ora, non mi metto a fare i calcoli, ma suppongo che nel primo caso ad esempio tu abbia che $2a+2d$ è il coefficiente di $\cos x$ mentre $4c$ quello di $x\cos x$, giusto? Bé, allora le condizioni da imporre sono [tex]$2a+2d=0,\ 4c=0$[/tex]. Idem con patate per tutte le altre!

[soni5]

Grazie

[soni5]

Grazie