Equazione differenziale secondo ordine

[Sk_Anonymous]

L'equazione è:
$ y''(t)+2y'(t)=2+e^t $
L'integrale generale dell'equazione omogenea associata è $ c_1+e^(-2t)*c_2 $
Per l'equazione $ y''(t)+2y'(t)=2+e^t $ devo considerare il termine noto come esponenziale ???
Se così fosse allora la soluzione della non omogenea sarebbe
$ w(t)=A*(e^t+2);
$ w'(t)=Ae^t;
$ w''(t)=Ae^t. $ dove A è un numero reale da determinare.
$ 2+e^t=Ae^t+2Ae^t=3Ae^t $ quindi $ A=2/(3e^t)+1/3 $
Per cui la soluzione della non omogenea sarebbe: $ (2/(3e^t)+1/3)*(e^t+2)=(4 e^(-t))/3+e^t/3+4/3 $
Però non mi trovo con l'intergale generale che deve essere: $ c_1+e^(-2t)*c_2+t+1/3e^t $

[gugo82]

L'equazione è lineare e quindi per risolvere l'equazione completa occorre e basta risolvere le due equazioni:

[tex]$y^{\prime \prime}+2y^\prime =2$[/tex] e [tex]$y^{\prime \prime}+2y^\prime =e^t$[/tex].

La prima si risolve "ad occhio" e ti da [tex]$y_1=x$[/tex]; ma anche la seconda si risolve "ad occhio", perchè basta prendere qualcosa del tipo [tex]$y_2=K\ e^t$[/tex] e determinare [tex]$K$[/tex] dall'equazione [tex]$3K=1$[/tex] (che si ricava derivando [tex]$y_2$[/tex] e sostituendo nell'equazione completa in esame).
Quindi l'integrale dell'equaizone completa iniziale è la somma [tex]$y_1+y_2$[/tex] (perchè?).

[Sk_Anonymous]

non riesco a capire come si ottiene $ y_1=x $ l'altro sono riuscito a risolverlo ( con il metodo degli annichilatori ). Nel caso in cui l'equazione è $ y''+2y'=2 $ qual è l'annichilatore??? come devo ragionare ??? Non riesco ancora a capire bene l'equazioni differenziali del secondo ordine !!

[Sk_Anonymous]

sono riuiscito a risolverla !! grazie mille !!