Equazione differenziale secondo ordine

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti . Ho un problema a risolvere questa equazione...

$ \phi_0''(x)(1+x)+2\phi_0'(x)=\frac{-2m(E_0+E_1)}{h^2}\phi_0(x)(1+x) $
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Il risultato dovrebbe venirmi
$ [ln \phi_0(x)]'=\frac{-m(E_1-E_0)x}{h^2} $

E' un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti non costanti (se non sbaglio), ma non so come si risolve :/
Perdonate se non allego neanche una tentata risoluzione, ma non so davvero come si facciano e ho un po' di confusione.. magari se mi scrivete anche solo il metodo o passate un pdf in cui tratta questo tipo di equazioni, ne sarei felicissima

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao Nattramn16,

Innanzitutto dubito che quella che hai scritto sia la soluzione, perché non vedo le due costanti arbitrarie $c_1$ e $c_2$ che compaiono nella soluzione di ogni onesta equazione differenziale del secondo ordine... Poi, facendo qualche passaggio per renderla un po' più "umana", mi ricondurrei all'equazione differenziale del secondo ordine seguente:

$\phi_0''(x)+frac{2}{1 + x}\phi_0'(x) + \frac{2m(E_0 - E_1)}{h^2}\phi_0(x) = 0 $

che si può scrivere nella forma di Sturm-Liouville:

$d/dx [(1 + x)^2 \phi_0'(x)] + \frac{2m(E_0 - E_1)}{h^2}(1 + x)^2 \phi_0(x) = 0 $

Siccome poi, se ho capito bene di cosa stiamo parlando, $E_1 > E_0$, il termine $ \frac{2m(E_0 - E_1)}{h^2} < 0 $. Mi risulta qualcosa del genere:

$\phi_0(x) = c_1 frac{e^{-\sqrt{k}x}}{1 + x} + c_2 frac{e^{\sqrt{k}x}}{\sqrt{k}(1 + x)} $

avendo posto $ k := - \frac{2m(E_0 - E_1)}{h^2} > 0 $

Ma magari ho interpretato male io... Fammi sapere.

[Sk_Anonymous]

Alla fine sono riuscita a risolvere il problema
Grazie comunque, sempre molto gentile