EQUAZIONE DIFFERENZIALE SECONDO ORDINE
Buongiorno a tutti!
Devo affrontare l'esame di Analisi Matematica 3 e svolgendo alcune prove d'esame mi sono trovato di fronte ad un esercizio un po' particolare che vorrei cercare di capire.
il testo recita ciò:
"Determinare l'integrale generale $ y(x) $ , con $ x in (e^-1, + oo ) $ di
$ x^2y''(x) + x ((3 + ln x)/(1 + ln x))y'(x) - y(x)=0 $ "
con un piccolo suggerimento che recita:
"può essere utile operare il cambiamento di variabile indipendente $ t = ln x $ e il cambiamento di funzione incognita $ z(t) = (1 + ln x)y(t) $
Vi spiego come ho affronto l'esercizio e dove vado a sbattere la testa:
Per prima cosa ho iniziato subito ad adoperare il cambio di variabile indipendente e ottenendo così:
$ e^(2t)y''(e^t)+e^t ((3+t)/(1+t))y'(e^t)-y(e^t)=0 $
applicandolo anche all'interno di $ z(t) $ e ottenendo
$ z(t) = (1+t)y(e^t) $
ora ho calcolato derivata $ z'(t) $ e $ z''(t) $ dalla formula appena sopra e ho trovato queste:
$ z'(t) = y(e^t) + (1+t) e^t y'(e^t) $
e
$ z''(t) =(e+t) e^t y'(e^t) + (1+t) e^(2t) y''(e^t) $
(ovviamente se ho fatto tutti i calcoli giusti e corretti)
Ora sono andato a ricavarmi $ y'(e^t) $ e $ y''(e^t) $ e andando a sostituire i risultati all'equazione di partenza trovo questo:
$ z''(t)-z(t)((t^2+t-2)/(t+1)^2) = 0 $
Ma da adesso in poi, non so come uscirne: non riesco a capire ora che procedimento posso attuare per poterla risolvere.
Chiedo gentilmente il vostro aiuto.
Grazie Mille
Devo affrontare l'esame di Analisi Matematica 3 e svolgendo alcune prove d'esame mi sono trovato di fronte ad un esercizio un po' particolare che vorrei cercare di capire.
il testo recita ciò:
"Determinare l'integrale generale $ y(x) $ , con $ x in (e^-1, + oo ) $ di
$ x^2y''(x) + x ((3 + ln x)/(1 + ln x))y'(x) - y(x)=0 $ "
con un piccolo suggerimento che recita:
"può essere utile operare il cambiamento di variabile indipendente $ t = ln x $ e il cambiamento di funzione incognita $ z(t) = (1 + ln x)y(t) $
Vi spiego come ho affronto l'esercizio e dove vado a sbattere la testa:
Per prima cosa ho iniziato subito ad adoperare il cambio di variabile indipendente e ottenendo così:
$ e^(2t)y''(e^t)+e^t ((3+t)/(1+t))y'(e^t)-y(e^t)=0 $
applicandolo anche all'interno di $ z(t) $ e ottenendo
$ z(t) = (1+t)y(e^t) $
ora ho calcolato derivata $ z'(t) $ e $ z''(t) $ dalla formula appena sopra e ho trovato queste:
$ z'(t) = y(e^t) + (1+t) e^t y'(e^t) $
e
$ z''(t) =(e+t) e^t y'(e^t) + (1+t) e^(2t) y''(e^t) $
(ovviamente se ho fatto tutti i calcoli giusti e corretti)
Ora sono andato a ricavarmi $ y'(e^t) $ e $ y''(e^t) $ e andando a sostituire i risultati all'equazione di partenza trovo questo:
$ z''(t)-z(t)((t^2+t-2)/(t+1)^2) = 0 $
Ma da adesso in poi, non so come uscirne: non riesco a capire ora che procedimento posso attuare per poterla risolvere.
Chiedo gentilmente il vostro aiuto.
Grazie Mille
Risposte
Ciao TheRealBonfi24,
Ammetto di non aver guardato tutti i passaggi, ma vedo 2 errori già nel primo:
Mi risulta:
$e^(2t)y''(e^t)+e^t ((3+t)/(1+t))y'(e^t)-y(e^t)=0$
Ammetto di non aver guardato tutti i passaggi, ma vedo 2 errori già nel primo:
"TheRealBonfi24":
... ottenendo così:
$e^(2t)y''(e^t)+e^t ((1+t)/(1-t))y'(e^t)-y(e^t)=0$
Mi risulta:
$e^(2t)y''(e^t)+e^t ((3+t)/(1+t))y'(e^t)-y(e^t)=0$
Ops.. errore di battitura, sul carteceo ho fatto come il tuo! Provvedo a correggere!
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