Equazione differenziale secondo ordine

[Mito125]

Io ho questa equazione differenziale:

\(\displaystyle y'' -8y'+15y=2e^{3x} \)

Calcolo l'integrale dell'omogenea associata ed ottengo \(\displaystyle y_o(x)=c_1 e^{5x}+c_2e^{3x} \)

Visto la presenza del termine \(\displaystyle e^{3x} \) anche nella soluzione dell'omogenea, trovo una soluzione nella forma:

\(\displaystyle y(x)=(Ax+B)e^{3x},\ y'(x)=e^{3x}(A+3Ax+B),\ y''(x)=e^{3x}(6A+9Ax+3B) \)

Sostituisco nell'equazione iniziale ed ottengo:

\(\displaystyle e^{3x}(6A+9Ax+3B-8A-24Ax-8B+15Ax+15B)=2e^{3x}\longrightarrow-2A+10B=2\)

Un'equazione per due incognite... Quindi ho sbagliato qualcosa... Probabilmente l'errore sta nella forma della soluzione particolare, ma a me sembrava corretta. Quando trovo nell'omogenea una forma simile a quella dell'equazione, innalzo di un grado la soluzione particolare e completo il tutto... Quindi io ho pensato che la forma corretta fosse \(\displaystyle Axe^{3x}+Be^{3x} \)...

[Gi81]

Devi cercare una soluzione particolare della forma $y(x)= Ax e^(3x)$, senza il $B$.
Infatti la parte con il $B$ è compresa nella soluzione dell'omogenea, quindi sparisce.
Se a te non sparisce, ma rimane $10B$, probabilmente hai sbagliato qualche calcolo.

[Gi81]

Infatti, c'è almeno un errore. Se $y(x)=(Ax+B)e^(3x)$, si ha $y'(x)=A*e^(3x)+(Ax+B)*3*e^(3x)= e^(3x)*(A+3(AX+B))=e^(3x)*(3Ax+A+3B)$

[Mito125]

Hai ragione, avevo sbagliato la derivata... Eppure l'avevo ricontrollata più volte... Grazie